Existencia de un subgrupo con orden 3 en un grupo con orden 6

Question

Deje que$G$ sea un grupo de orden 6. ¿Por qué$G$ tiene un subgrupo de orden 3, incluso si$G$ no es cíclico?

He intentado usar la negación y supongo que todos los elementos en$G$ tienen un orden de 2 o 1 pero no puedo contradecir eso (sin el teorema de sylow o cauchy).

Answer 1

Si cada elemento que no es de identidad en$G$ tiene orden$2$, entonces$G$ es abelian [Prueba:$gh=(gh)^{-1}=h^{-1}g^{-1}=hg$.].

Si$a$ y$b$ son dos elementos del pedido$2$ en un grupo abeliano$G$, entonces$\langle a,b\rangle = \{1,a,b,ab\}$ es un subgrupo del pedido$4$, infringiendo Teorema de Lagrange (desde$|G|=6$).

Answer 2

Si todos los elementos tienen orden dos, entonces, como señala @Tobias, el grupo es abeliano ($a b (b a)^{-1} = ab ab = (ab)^2 = 1.$ un grupo abeliano es un producto de grupos cíclicos, y dado que todos los elementos tienen orden$2,$, la orden debe ser una potencia de$2,$ que no es$6$. Por supuesto, solo usted sabe si se le permite usar el teorema de estructura para grupos abelianos.

Answer 3

El grupo G tiene un subgrupo H de Sylow 3, que es de orden 3. Como H es cíclico, hay un elemento de G de orden 3.