$f:\mathbb R \to \mathbb R$ es un continuo tal que$f(f(f(x)))=x,\forall x \in \mathbb R$, es$f(x)=x , \forall x \in \mathbb R$?

Question

Deje que$f:\mathbb R \to \mathbb R$ sea una función continua tal que$f(f(f(x)))=x,\forall x \in \mathbb R$, entonces ¿es cierto que$f(x)=x , \forall x \in \mathbb R$? Puedo ver que$f$ es biyectivo, por lo tanto estrictamente monótono. Pero no puedo seguir avanzando. Por favor ayuda. Gracias por adelantado

Answer 1

Primero, note que $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$. Para todos los $x \in \mathbb{R}$ la imagen por $f$ de % de $f(f(x))$ es $x$ lo $f$ es surjective. Por otra parte $f$ es inyectiva porque: si $f(x)=f(y)$,, a continuación,$x=f(f(f(x)))=f(f(f(y)))=y$. Por lo $f$ es un bijection. Observar que ese $f$ es estrictamente creciente, supongamos $f$ es la disminución de la $f\circ f$ es creciente y $f\circ f\circ f=\text{id}$ está disminuyendo, lo cual es imposible.

Podemos suponer $f(x)>x$, tenemos que $f(f(x))>f(x)>x$, lo $x=f(f(f(x))>f(f(x))>f(x)>x$ porque $f$ es estrictamente creciente, pero esto es claramente imposible. En la otra forma de $f(x)<x$ es imposible, por lo que la única posibilidad es que el $f(x)=x$ para todos los $x$. Por lo $f=id$.

Answer 2

Como señala Arthur,$f$ no puede estar disminuyendo porque entonces también lo sería$f\circ f\circ f$. Por lo tanto,$f$ debe estar aumentando.

Ahora arregle un$x\in \mathbb R$ y considere qué$f(x)$ puede ser.

Si$f(x)>x$, entonces como$f$ está aumentando, tenemos$f(f(x))\ge f(x)$ y$f(f(f(x)))\ge f(f(x))$, lo que nos da$$ f(f(f(x)) \ge f(f(x)) \ge f(x) > x $ $ en contradicción con el supuesto de que$f(f(f(x)))=x$.

De manera similar,$f(x)<x$ lleva a$f(f(f(x)))<x$, por lo que la única posibilidad es que$f(x)=x$.