Portadas compuestas

Question

Tengo problemas para resolver esta pregunta aparentemente sencilla.

Dejemos que $q : X \rightarrow Z$ sea un espacio de cobertura. Sea $p : X \rightarrow Y$ sea un espacio de cobertura. Supongamos que existe un mapa $r : Y \rightarrow Z$ tal que $q = r \circ p$ . Demostrar que $r : Y \rightarrow Z$ es un espacio de cobertura.

¿Podría alguien darme una pista? Por supuesto que debería elegir alguna definición de cobertura y mostrar que $r$ efectivamente satisface esto.

Gracias

Answer 1

Supondremos que nuestros espacios son localmente conectados, de modo que las componentes conectadas son abiertas y cerradas.
El espacio $Z$ puede ser cubierto por subconjuntos abiertos conectados sobre los cuales $q$ es trivial, y como la restricción de $res(p):p^{-1} (r^{-1}(U) = q^{-1}(U) \to r^{-1}(U)$ sigue siendo un recubrimiento , podemos suponer, y así lo haremos en adelante, que $q$ es una cobertura trivial y que $Z$ está conectado.

El núcleo de la prueba
Tome un componente conectado $V\subset X$ de $X$ ( una hoja de la cubierta trivial $q$ ) .
Su imagen $p(V)$ será un componente conectado de $Y$ Según el informe de Spanier Topología algebraica , capítulo 3, teorema 14, página 64.
Pero entonces $res(r):p(V)\to Z$ es un homeomorfismo y como, por la surjetividad de $p$ el espacio $Y$ es una unión disjunta de tales $p(V)$ el mapa $r:Y\to Z$ es una cobertura trivial cuyas hojas son exactamente las componentes conectadas de $Y$ .

Answer 2

Tome un subconjunto abierto en $U\subseteq Z$ y tomar la preimagen de la misma a lo largo de $q^{-1}$ . Entonces sabes que $q^{-1}(U)$ es homeomorfo a $U_X\times F_X$ ya que $q=r\circ p$ ya sabes $U_X\times F_X\cong q^{-1}(U)=(r\circ p)^{-1}(U)=p^{-1}\circ r^{-1}(U)$ es el mismo (como señaló Zhen Lin). Y ahora tienes que trabajar en el por qué $r^{-1}(U)$ es homeomorfo a $U_Y\times F_Y$

Como es una tarea, no quería hacerlo todo.
Ps. Me resulta mucho más comprensible cuando hago dibujos de diagramas conmutativos.