Caracterización de los menores de las matrices diagonales

Question

Dejemos que $k,d$ sean enteros positivos, $1<k<d$ . Sea $\lambda_I=\lambda_{i_1,\ldots,i_k}$ sean números reales, indexados por multiíndices $I=(i_1,\ldots,i_k)$ , donde $1\le i_1<\ldots<i_k \le d$ .

¿Existen condiciones necesarias y suficientes para $\lambda_{i_1,\ldots,i_k}$ que equivalen a la existencia de $\sigma_1,\ldots,\sigma_d \in \mathbb{R}$ tal que $\lambda_{i_1,\ldots,i_k}=\sigma_{i_1}\cdot \ldots\cdot\sigma_{i_k}$ se mantiene para cada multiíndice $I$ ?

En otras palabras, me pregunto si podemos caracterizar qué secuencias de números reales pueden surgir como la $k$ -menores de diagonal $d \times d$ ¿matrices?

Me interesa principalmente el caso en el que todos los $\lambda_{i_1,\ldots,i_k}$ son distintos de cero.

He oído que el problema general de reconocer $k$ -de matrices cuadradas arbitrarias está abierto, pero espero que para diagonal matrices, la situación puede entenderse mejor.

Supongo que esto debería ser más fácil empezando de nuevo $\mathbb{C}$ . ¿Qué se sabe de ese caso?

Comnet: Si he entendido bien, el Relaciones con los despojos sólo describen a los menores de grado superior de una matriz no cuadrada. Aquí me refiero a los menores de grado $k$ cuando $1<k<d$ es decir, los menores no superiores de un matriz cuadrada .

Answer 1

Permítanme dar una respuesta sobre números complejos. Las condiciones son las siguientes: para cada par $i \ne j$ y para cada par de subconjuntos $I,J \subset \{1,\dots,d\} \setminus \{i,j\}$ de cardinalidad $k - 1$ se tiene una relación $$ \lambda_{I \sqcup \{i\}} \cdot \lambda_{J \sqcup \{j\}} = \lambda_{I \sqcup \{j\}} \cdot \lambda_{J \sqcup \{i\}}. $$ Es evidente que estas relaciones son necesarias.

Demostremos también que son suficientes. De hecho, permítanme explicar cómo $\sigma_i$ puede reconstruirse. Tome cualquier conjunto $J \subset \{1,\dots,d-1\}$ de cardinalidad $k$ . A continuación, establezca $$ \sigma_d = \sqrt[k]{\frac{\prod_{j \in J} \lambda_{J \setminus \{j\} \sqcup \{d\}}}{\lambda_J^{k-1}}}. $$ Después, para cada $i \in \{1,\dots,d-1\}$ elija $J \subset \{1,\dots,d-1\} \setminus \{i\}$ de cardinalidad $k-1$ y establecer $$ \sigma_i = \frac{\prod_{j \in J} \lambda_{J \setminus \{j\} \sqcup \{i,d\}}}{\lambda_{J \sqcup \{i\}}^{k-2}\sigma_d^{k-1}}. $$ Se puede comprobar que esto resuelve las ecuaciones requeridas.

Sobre números reales el único problema extra es la existencia de la raíz.