Pregunta simple sobre la definición de matriz de cambio de base.

Question

Definición

Supongamos $V$ es un espacio vectorial sobre $\mathbb{F}$. Deje $B=\{u_1,u_2,...,u_n\}$ e $B'=\{v_1,v_2,...,v_n\}$ ser bases para $V$. Podemos formar la matriz de cambio de base $P$, haciendo que el $i$ésima columna de $P$ ser $[v_j]_B$ para $j=1,...,n$.

Mi pregunta es ¿la matriz tienen esta propiedad: Supongamos que tenemos $u\in U$, entonces es $$[u]_B=P[u]_{B'}$$ or is it the other way around $$[u]_{B'}=P[u]_B$$ I know if $P$ is invertible (which it will be) then we can calculate $P^{-1}$ and use that to move in the opposite direction should we wish but I don't understand which direction we are moving in when we say something like $P$ is the change of basis matrix from $B$ to $B'$ because my thoughts would say this is the matrix with the property $$[u]_{B'}=P[u]_B$$ pero mis notas tienen el uno como el otro.

Gracias.

EDIT: En la tipificación de mi pregunta que me he hecho han logrado responder por mí mismo. Gracias por su tiempo.

Answer 1

Es$$[u]_B=P[u]_{B'}.$ $

Para ver esto, es suficiente verificar la igualdad en base a$V$; Lo haremos con$B'$. Si toma$u=v_j$ en la ecuación, entonces$$[u]_{B'}=[v_j]_{B'}=e_j,$ $ donde$e_j=(0,\dots,1,\dots,0)$ con el$1$ en la posición$j^{th}$. Entonces$P[v_j]_{B'}=Pe_j$ es en realidad la columna$j^{th}$ de$P$, que es por definición$[v_j]_{B}$.