Definición de función logarítmica derivada de sus propiedades útiles.

Question

Mi comprensión del punto de logaritmos es que a su vez, la multiplicación en adición, a la multiplicación y exponenciación.

es decir,

$$ \ln cx = \ln c + \ln x $$

$$ \ln x^c = c \ln x $$

Vamos a llamar a los dos anteriores declaraciones acerca de los logaritmos de su "utilidad" de las propiedades.

Los dos anteriores son de alguna manera el "punto" de los logaritmos en la medida en que fueron originalmente inventado para simplificar los cálculos: Tomar el logaritmo, hacer todos los cálculos en el más fácil, el mundo de "espacio de registro" donde la multiplicación es la suma, luego, al final, tomar el inverso del logaritmo (exponenciación) para convertir el resultado de la espalda.

Soy consciente de las diversas definiciones de logaritmo, tales como:

$$ \ln c = \lim_{h\to 0} \frac{c^h-1}{h} $$

y entonces hay pruebas de que esta definición nos lleva a lo que he llamado la "utilidad" de las propiedades.

Pero ¿hay alguna derivaciones que van por otro camino?

es decir, una definición de logaritmo que se inicia con

"Definir $\ln x$ como la función que convierte la multiplicación en adición", etc.

y concluye con

"$\ln$ existe y puede ser calculada mediante el cálculo de $\lim_{h\to 0} \frac{x^h - 1}{h} $

Answer 1

Vamos a tratar con el sencillo y funcional de la ecuación de $f(xy) = f(x) + f(y)$ satisfecho por $f(x) = \log x$. Vamos a mostrar que cualquier solución de esta ecuación tiene que ser de la forma $k\log x$ donde $k$ es una constante. Tenemos la necesidad de asumir la diferenciabilidad de $f$. El tratamiento de la $y$ como constante y diferenciando con respecto a $x$ obtenemos $yf'(xy) = f'(x)$ e intercambiar $x, y$ obtenemos $xf'(xy) = f'(y)$, de modo que $xf'(x) = yf'(y) = xyf'(xy)$. Desde $x, y$ son arbitrarias de ello se sigue que $xf'(x) = k$ y, a continuación,$f'(x) = k/x$.

Claramente si $k = 0$ entonces $f(x)$ es constante y a partir de la ecuación de la función esta constante debe ser $0$. Si $k \neq 0$, entonces podemos escribir $f(x) = k\int_{a}^{x}(1/t)\,dt$ donde $a, x$ son del mismo signo. Poniendo esto en el funcional de la ecuación obtendremos $a = 1$, de modo que $f(x) = k\int_{1}^{x}(1/t)\,dt$

También tenga en cuenta que el funcional de ecuaciones no puede determinar el $k$. Por lo tanto, de la ecuación de la función que usted no puede derivar $$\ln x = \lim_{h \to 0}\frac{x^{h} - 1}{h}$$ There is another fundamental problem that we can't talk about the above limit unless we define $x^{h}$ for all $h$. This can only be done is a simple way if $\log$ and $\exp$ funciones ya están definidos.

Answer 2

No veo por qué tendríamos que tener ambos $$ \begin{align} \ln(cx)&=\ln(c)+\ln(x)\\ \ln(x^c)&=c\ \ln(x) \end{align} $$ ya podemos derivar la primera directamente desde el último escrito,$c=x^t$, de modo que $t \ln(x)=\ln(c)$: $$ \ln(cx)=\ln(x^{t+1})=(t+1)\ln(x)=\ln(c)+\ln(x) $$ pero es cierto que las soluciones a $f(x^c)=c\ f(x)$ (con $\mathbb R^+$ como dominio) son proporcionales y, de hecho, se determina únicamente por decir $f(2)$ desde cualquier $y\in\mathbb R^+$ puede ser escrita en la forma$y=2^c$, de modo que $$ f(y)=c\ f(2) $$ así que una vez $k=f(2)$ se determina todos los valores de $f(y)$ son. Pero tener a $f(\mbox{e})=1$, de modo que estamos hablando del logaritmo natural $\ln$ lo primero que tendrá que definir $\mbox{e}$, de alguna manera u otra.

Paramanand Singh: Hacer de manera explícita la necesidad de definir $\log$ o $\exp$ antes de la definición de $x^h$ para un determinado $x\in\mathbb R^+$? Si $p/q\in\mathbb Q$ es dado ($p,q$ enteros), a continuación, $$ \left(x^{p/q}\right)=x^p $$ únicamente determina $x^{p/q}>0$. Así que la podemos encontrar una secuencia en $q_1,q_2,...\mathbb Q$ convergentes a $h$ y definir $$ x^h=\lim_{n\rightarrow \infty}x^{q_n} $$ Pero en general veo cómo las definiciones dadas por el autor de la pregunta son insuficientes para establecer una conexión con el límite de $$ \ln(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{x^h-1}{h} $$