¿Cómo podemos evaluar este$\prod_{k=1}^n(1+kx)$

Question

$\displaystyle\prod_{k=1}^n(1+kx)=\underbrace{\displaystyle\sum_{k=0}^n a_k x^k}_{\text{I assumed this,it don't has to be like this}}$

Estoy investigando qué significa esto, cómo podemos analizar esto y obtener una fórmula generalizada.

De hecho, pensé en las fórmulas de$n-$ grado equitativo.

Por ejemplo, supongamos que este$\displaystyle\prod_{k=1}^n(1+kx)=a_0+a_1x+....+a_{n-1}x^{n-1}+a_nx^n$

Y creo que sabemos$\displaystyle\sum \left(\dfrac{-1}{k_i}\right)=-\dfrac{a_{n-1}}{a_n}$

Es como, cuando ($ ax^2+bx+c=0 $),$x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}$

Y seguí haciendo esto, pero esto iba a durar hasta la eternidad ...

Answer 1

Estos coeficientes son esencialmente los números Stirling sin firmar del primer tipo $\Big[ \frac{n}{k} \Big]$: para ser precisos, los números Stirling están definidos por$$x (x+1) ... (x+n-1) = \sum_{k=0}^n \Big[ \frac{n}{k} \Big] x^k.$$ The connection is that if we define $$f(x) := (1+x)(1+2x)...(1+nx),$$ then reversing the coefficients gives $% # PS

Answer 2

Empezamos con $$ \prod_{k = 1}^n (1 + kx) = x^n \prod_{k = 1}^n \left(\frac{1}{x} + k\right) = \sum_{j = 0}^n a_j x^j.$$ Deje $y = -\frac{1}{x}$, por lo que este se convierte en $$ \frac{1}{y^n} \prod_{k = 1}^n (y - k) = \sum_{j = 0}^n a_j (-y)^{-j} = \frac{1}{y^n} \sum_{j = 0}^n (-1)^j a_j \;y^{n-j}.$$ Así que si entendemos $$ \prod_{k = 1}^n (y-k) = \sum_{j = 0}^n (-1)^j a_j \; y^{n-j},$$ a continuación, también entendemos que el producto original. El lado izquierdo es muy comprensible, ya que el coeficiente de $y^\ell$ del producto será $$ \sum_{1 \leq k_1 < k_2 < \cdots < k_\ell \leq n} (-1)^\ell k_1 k_2 \cdots k_\ell.$$ Muchos de estos son difíciles de entender. Pero el coeficiente de $y^0$ es exactamente $n!$, y el coeficiente de $y^n$ es exactamente $(-1)^n$.

Estos están muy estrechamente relacionadas con Vieta fórmulas, números de Stirling, y muchas otras cuestiones combinatorias.

Answer 3

Observe que

$$\prod_{k=1}^n(1+kx)=\prod_{k=0}^n(1+kx)=1\times(1+x)\times(1+2x)\times\dots\times(1+nx)\\=(1+nx)\overbrace{!!\dots!!}^x\text{ or }(1+nx)!^{(x)}$$

donde el largo de la cadena de signos de exclamación es multifactorial, la extensión de la doble factorial. La Wikipedia de el factorial también tiene una pequeña sección de este.

Como la Wikipedia de los estados, esto puede ser reescrito de la siguiente manera:

$$\prod_{k=1}^n(1+kx)=x^n\frac{\Gamma(n+1+\frac1x)}{\Gamma(1+\frac1x)}$$

donde $\Gamma$ es la función Gamma. Este formulario permite la extensión a cualquier $n,x\in\mathbb C$.