La relación de subgrupos subnormales y subgrupos modulares de un grupo finito.

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo finito, un subgrupo $H$ de $G$ se llama subnormal si es un término de una serie de composición de $G$ y se llama modular si es un elemento modular de la red de subgrupos $L(G)$ . Mi pregunta es que, ¿todo subgrupo subnormal de $G$ sea modular, y todo subgrupo modular de $G$ ser subnormal?

Answer 1

Inspirado por el comentario, he demostrado que ni la subnormalidad ni la modularidad implican la otra. Como Crostul señaló en el comentario, $D_4$ contiene subgrupos subnormales que no son modulares. Por otro lado, $L(S_3)$ es una red modular, mientras que los subgrupos de segundo orden de $S_3$ no son subnormales.