Infinitamente muchos Tal que .

Question

Trato de mostrar que existen infinitos números de $n \in \mathbb{N}$ tal que $\mu(n) + \mu(n+1) = 0 $.

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Lo que yo hice

Escribimos $\mathcal{P}$ para el conjunto de los números primos. Tenemos que mostrar que uno de los siguientes conjuntos es infinita: $$ Un \quad = \quad \{ n \ : \ \existe p,q \in \mathcal{P}, \ p^2|n \ \text{ y } \ p^2 | (n+1) \ \} $$ $$ B \quad = \quad \{ n \ : \ \omega(p)=-\omega(q) \text{ y $p,q$ son plaza libre} \} $$

No hay límites superiores para los conjuntos $\mu^{-1}(\{ -1\}), \ \mu^{-1}(\{ 0\}), \ \mu^{-1}(\{ 1\})$.

Me resulta muy difícil decir algo acerca de la $n+1$, dado que tenemos la factorización de $n$. Todo lo que sé es que $p | n \ \Rightarrow \ p \nmid n+1$.

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Me podría dar una pista para demostrar que cualquiera de las $A$ o $B$ es infinito? Por favor, no dar una respuesta completa.

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Intento de utilizar la pista tengo

Entiendo que podemos elegir $x$ tan grande como la que necesitamos. Obviamente, $x^p$ como se divide ser algunos de la plaza principal. Aquí trato de mostrar que $x^p +1 $ no es squarefree. Sabemos que $x+1 \ | \ x^p+1$, y $p \ | \ x+1$ lo $p \ | \ x^p+1$. Ahora debemos demostrar que

$$ p \ | \ \frac{x^p+1}{x+1} $$ Tenemos en $\mathbb{F}_p$ que $$ \frac{x^p+1}{x+1} \ = \ \frac{(x+1-1)^p+1}{x+1} \ = \ \frac{(x+1)^p + (-1)^p + 1}{x+1} = (x+1)^{p-1} \ = \ 0 $$ como se requiere.

Answer 1

Para cada entero de la forma$n=36k+8$, $$ \ mu (n) + \ mu (n +1) = 0 +0 = 0. $$

Answer 2

Pista: considera a los dos vecinos de un primo impar. Uno es par, y el otro es más parejo.

Answer 3

Deje que$x$ sea un número entero tal que exista un primo impar$p$ tal que$p\mid x+1$. Entonces$x^p+1$ no está libre de cuadrados al levantar el exponente y$\mu(x^p)+\mu(x^p+1)=0$.

Answer 4

Deje que$n+1$ sea el cuadrado de un número impar. Entonces, sabemos que$n$ es divisible por$4$, por lo tanto tanto$n$ como$n+1$ son eliminados por$\mu$.