Cerrado vs puntos racionales sobre los sistemas de

Question

Antecedentes: Cuando Ueno se basa totalmente fieles functor de Var/k a Sch/k menciona que la variedad $V$ puede ser identificado con los puntos racionales de $t(V)$$k$. Sé cómo probar esto en afín todo y va a funcionar el caso general, en algún momento en el futuro.

La pregunta que esto me puso a pensar acerca de si $X$ $k$- esquema donde el $k$ es algebraicamente cerrado, entonces el $k$-puntos racionales de $X$ a sólo el cerrado de puntos? Esta es, probablemente, muy conocida, pero no puedo encontrar de manera explícita ni puedo encontrar un contraejemplo.

Para $k$ no es algebraicamente cerrado, me puede venir para arriba con ejemplos en los que esto no es cierto. Así que en general existe alguna relación entre el cerrado y puntos de puntos racionales sobre los programas (sobre todo de $k$)?

Esto daría un poco más de conocimiento sobre lo que este functor. Toma la variedad y hace que todos los puntos en puntos cercanos a un esquema, a continuación, añade el genérico puntos necesarios para hacer realidad un legítimo esquema. General: pensamientos sobre esto son bienvenidos también.

Answer 1

Si $k$ es algebraicamente cerrado y $X$ $k$- esquema localmente finito de tipo, entonces el $k$-puntos racionales son precisamente los puntos cercanos. (Ver EGA 1971, Ch. Yo, Corollaire 6.5.3).

De manera más general: si $k$ es un campo y $X$ $k$- esquema localmente finitos tipo, $X$ es un Jacobson esquema (es decir, que es cuasi-isomorfo a su subyacente ultrascheme) y la cerrada puntos son precisamente los puntos de $x \in X$ tal que $\kappa(x)|k$ es una extensión finita.

Usted también debe conferir el apéndice de EGA 1971. Allí se muestra que para cualquier campo $k$ la categoría de $k$-esquemas localmente finitos tipo con morfismos localmente finitos tipo es equivalente a la categoría de $k$-ultraschemes ($k$- ultrascheme a nivel local es el máximo del espectro de una $k$-álgebra).

Answer 2

El siguiente resultado se aborda el caso de finito tipo afín a los esquemas de más de un campo arbitrario $k$.

Teorema: Vamos a $A$ ser un finitely generado álgebra sobre un campo $k$. Deje $\iota: A \rightarrow \overline{A} = A \otimes_k \overline{k}$.
a) Para cada ideal maximal $\mathfrak{m}$$A$, la $\mathcal{M}(\mathfrak{m})$ de máxima ideales $\mathcal{M}$ $\overline{A}$ se encuentra por encima del $\mathfrak{m}$ es finito y no vacío.
b) la acción natural de La $G = \operatorname{Aut}(\overline{k}/k)$ $\mathcal{M}(\mathfrak{m})$ es transitiva. Por lo tanto $\operatorname{MaxSpec}(A) = G \barra invertida \operatorname{MaxSpec}(\overline{A})$.
c) Si $k$ es perfecto, el tamaño de la $G$-órbita en el $\mathfrak{m} \in \operatorname{MaxSpec}(A)$ es igual al grado de la extensión de campo de $k$ generado por las coordenadas en $\overline{k}^n$ cualquier $\mathcal{M}$ se encuentra por encima del $\mathfrak{m}$.

En breve, el cierre de puntos corresponden a la Galois órbitas de los puntos geométricos.

Este es el Teorema de 8 en http://www.math.uga.edu/~pete/8320notes3.pdf.

La prueba se deja como ejercicio, con algunas sugerencias.

Exactamente donde esta el resultado de vino, no recuerdo. El texto para el curso que estas notas acompañan fue Qing Liu Geometría Algebraica y Aritmética de Curvas (+1!), así que es una buena foto que hay al menos algunos afines resultado allí.

Answer 3

Es cierto para sistemas finitos de tipo más de $k$ (algebraicamente cerrado) que la cerrada puntos son exactamente las $k$-puntos. Para ver esto, observe que si $x \in X$ es cualquier punto, a continuación, el cierre de la $\overline{\{x\}}$, equipado con su reducido subscheme estructura, es integral y tiene dimensión igual a la trascendencia del grado de su función de campo de más de $k$ (Hartshorne, el ejercicio 3.20 en el capítulo 2). Espero que sea lo suficientemente claro?

Para $k$-esquema de lo que no son (a nivel local) de finito tipo, esto no funciona, como Martin muestra a continuación.