Mostrando una secuencia numérica converge

Question

¿Cómo podría mostrar que la siguiente secuencia converge?

PS

Probé las pruebas de cociente y la raíz n y ambos no fueron concluyentes. Estaba pensando que podría haber una manera de usar la prueba de comparación de límites, pero no estoy seguro. ¿Alguna pista?

Answer 1

Insinuación:

PS

Luego por prueba integral, ya que$$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{\sqrt{n} \log n}{n^2 + 3n + 1} < \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{ \log n}{n^{3/2}}$ (converge), entonces la serie dada converge.

Answer 2

También puedes probar la prueba de comparación de límites con$\;\frac{\log n}{n^{3/2}} \;$? :

PS

Finalmente, tenga en cuenta que la serie$$\frac{\frac{\sqrt n\log n}{n^2+3n+1}}{\frac{\log n}{n^{3/2}}}=\frac{n^2}{n^2+3n+1}\xrightarrow[n\to\infty]{}1$ converge, ya que, por ejemplo:

$$ \begin{align*}\text{Comparison Test:}&\;\frac{\log n}{n^{3/2}}\le\frac{n^{1/4}}{n^{3/2}}=\frac1{n^{5/4}}\\{}\\ \text{Condensation Test:}&\;\;\frac{2^n\log2^n}{2^{3n/2}}=\log 2\frac n{2^{n/2}}\end {align *} $$

y el último es convergente (por ejemplo,$\;\sum\frac{\log n}{n^{3/2}}\;$ th prueba de raíz)