Conexión entre la característica de Euler y el grado del mapa de Gauss.

Question

Deje $M\subset \mathbb{R}^n$ ser cerrado, compacto liso oriantable colector. Deje $E\to M$ normal paquete de la incrustación y la $N\subset \mathbb{R}^n$ a (cerrado) tubular de vecindad. $N$ es $n$-colector con límite de $\partial N$, un $(n-1)$-colector. El mapa de Gauss $G:\partial N\to S^{n-1}$ envía un elemento $v$ de % de $\partial N$ a la normalizado vector que apunta desde $v$ hacia el exterior (imagen).

Vamos a un campo vectorial aislado con ceros en $M$ ser dado. La de Poincaré-Hopf teorema de Milnor del libro "la Topología de la diferenciable punto de vista", afirma que la característica de Euler de $M$ es igual a la suma de los índices en los ceros del campo vectorial. El último número es igual a por el Teorema 1, página 38 del mismo libro el grado $deg(G)$ de Gauss mapa de $G$, si leo esto correctamente.

Pero algunas de las preguntas y respuestas en este sitio (por ejemplo, este o que) el estado que $$ \chi(M)=2 gr(G). $$

¿Qué puedo mezclar hasta aquí? Existen diferentes definiciones de grado o de Gauss mapa de involucrados?

Answer 1

Creo que se están mezclando dos definiciones de Gauss mapa. Uno es intrínseco a las múltiples (y es igual a la mitad de la característica de Euler), mientras que el otro depende de la integración en un espacio Euclidiano y un tubular de barrio y este será dos veces más grande, ya que el límite de este barrio tiene dos componentes (es decir, de dentro y de fuera).

Como un ejemplo muy simple de esto, tome $M=S^2$. El Gauss mapa es sólo la identidad, y por lo que su grado es $1 = {1 \over 2} \chi(S^2)$. Pero para el tubular barrio en el mapa de Gauss es esencialmente una proyección desde el interior y el exterior de los componentes de la vecindad a la esfera, lo que significa que su grado es 2.