En $\pi_1(X, x_0)$ actuar $\tilde{X}$ ?

Question

Dejemos que $X$ sea un espacio conectado por caminos, localmente conectado por caminos y sea $p:\tilde{X} \to X$ sea un mapa de cobertura. Sea $x_0\in X$ . Entonces tenemos una acción de derecho natural de $\pi_1(X, x_0)$ en la fibra $p^{-1}(x_0)$ dado por $x'_0\cdot [\gamma] =\tilde{\gamma} (1)$ . En el sitio web $\tilde {\gamma} $ es la única elevación de $\gamma$ a partir de $x'_0$ .

Sin embargo, ¿existe una acción de este grupo sobre todos los $\tilde {X}$ ?

Answer 1

Como ha señalado en su pregunta, $\pi_1(X,x_0)$ actúa sobre $p^{-1}(x_0)$ permutando los puntos (es decir, los ascensos de $x_0$ ) alrededor. Pero si lo que busca es un grupo que actúe sobre el todo espacio $\tilde X$ (¿que creo que es tu pregunta?) entonces querrías que el grupo de transformaciones de la cubierta $G(\tilde X)$ . Este grupo es la colección de todos los isomorfismos del espacio de cobertura $f:(\tilde X, \tilde x_0)\to (\tilde X,\tilde x_0)$ es decir, homeomorfismos de $\tilde X$ que satisfacen $p=p\circ f$ . (Así que, intuitivamente, un homeomorfismo $f$ es un elemento de $G(\tilde X)$ si la proyección o "sombra" de $\tilde X$ en $X$ se parece a la proyección/"sombra" del espacio 'homeomorfo' $f(\tilde X)$ en $X$ ).

En general, $\pi_1(X)$ y $G(\tilde X)$ no son isomorfas. Pero si $\tilde X$ es la cubierta universal entonces lo son. (Véase, por ejemplo, la Proposición 1.39 de Hatcher para ver una relación más general entre $G$ y $\pi_1$ .) Así que en ese caso, la acción de $\pi_1$ en los elementos de $p^{-1}(x_0)$ coincide efectivamente con una acción sobre todos los $\tilde X$ .

Answer 2

NB : Mi "respuesta" aquí asume erróneamente que $\tilde{X}$ denota la cubierta universal, que está simplemente conectada. En otras palabras, da los detalles para la afirmación hecha en la respuesta de @user316092, la que comienza con "Pero si $\tilde X$ es la cubierta universal..." Como es una explicación útil de esa parte, he decidido dejarla aquí en lugar de eliminarla.

Más o menos. Pero tienes que elegir un punto concreto de la fibra sobre $x_0$ , digamos que $x_0'$ . Ahora para cualquier otro punto $a$ del espacio de cobertura, hay un camino único (hasta los puntos finales de la homotopía) $\alpha$ de $x_0$ a $a$ que lleva a un camino $\beta = p \circ \alpha$ en $X$ , de $x_0$ a $p(a)$ .

Para $\gamma$ como en el caso anterior, dejemos que $\zeta = \gamma \cdot \beta$ un camino en $X$ de $x_0$ a $p(a)$ . Ahora $\zeta$ tiene una elevación única a $\hat{\zeta}$ un camino en $\tilde{X}$ a partir de $x_0'$ . Entonces defina

$$ F_\gamma (a) = \hat{\zeta}(1) $$

Tenga en cuenta que para $a$ en la fibra, esto degenera en la definición que has descrito.