Teoría de ecuaciones y matemáticas de pregrado.

Question

Estaba navegando a través de un libro titulado: la Teoría del Campo y Sus Problemas Clásicos de Charles Hadlock, uno de los Carus Matemática Monografías títulos. En su prólogo dice lo siguiente:

En particular, este libro presenta una exposición de las partes de la clásica teoría de campo que se encuentran en la famosa construcción geométrica de los problemas de la antigüedad y el problema de resolver ecuaciones polinómicas por los radicales. Hace algún tiempo gran parte de este material fue cubierto en los cursos de graduación en la " teoría de ecuaciones. Paradójicamente, a medida que la teoría maduró y se convirtió en la más elegante, se movió en lo más alto en el plan de estudios, por lo que hoy en día no es raro que la primera se encuentra en el nivel de postgrado. A mí me parece que eso es lo más lamentable, para este importante y hermosa área de las matemáticas que merece ser estudiado temprano. A continuación, puede prestar perspectiva y motivación para el posterior estudio abstracto de las estructuras matemáticas.

Esto es un arresto párrafo, porque sugiere que hay una distinción entre un orden lógico de la materia en el plan de estudios de grado y su ordenación como un campo que es impulsado por las interesantes preguntas y problemas, el punto de vista de que es muy oscurecida si observan en el típico plan de estudios de pregrado. Esto, por supuesto, varían con la escuela y el instructor, pero en general, el estándar de plan de estudios de grado es aburrido, y para los no iniciados, hay algo asfixiante en la forma en que el material que se presenta.

Entonces, la pregunta es: ¿en Qué áreas de nivel de postgrado que las matemáticas pueden ser accesibles para, digamos, un estudiante de segundo año, después de una rigurosa secuencia de cálculo?

Answer 1

Análisis complejo, sin exceso de preocupación para el análisis sutilezas como el intercambio de integrales y sumas y tal, notoriamente tiene una alta proporción de resultados interesantes para los gastos. Aplicaciones a la evaluación de las integrales por los residuos, lo que se suma la serie de los residuos, así como a cosas más serias (zeta función, funciones elípticas, las formas modulares), cuya introductorio aspectos requieren poca preparación.

Una versión de la "teoría de ecuaciones" en el que Lagrange resolvents se enfatizan y cyclotomic polinomios utilizados como ejemplo significativo, no necesita mucha preparación después de una toma de conciencia de los números complejos.

Como @JoeJohnson126 notas, homología con coeficientes en $\mathbb Z/2$ evita el problema de la motivación o explicación de los signos en los mapas de los límites y orientaciones y tal. Alexandroff escribió un muy delgado libro en topología algebraica desde este punto de vista.

La no-Euclidiana geometrías de las esferas y hiperbólico espacios que pueden ser estudiados con sólo un poco de álgebra lineal y de las ideas del cálculo, en lugar de involucración con los temas en general de la geometría de Riemann y la Mentira de la teoría.

(Sí, sí parece ser el caso de que el estudiante en el currículo de matemáticas de todo-demasiado-a menudo adquiere un aburrido, tedioso aire, ya que las cosas buenas que ha sido empujado más tarde, por motivos de "orden lógico"... el problema es que este tiende a empujar todos los motivador ejemplos años más tarde, lo cual es ridículo.)

Answer 2

Puede hacer un poco de homología con los coeficientes$\mathbb{Z}/2$, como en el libro " Una introducción combinatoria a la topología ".

Answer 3

Dado el contexto, supongo que por 'nivel de postgrado' que significa 'en la actualidad se enseñan en el nivel de postgrado,' que, por supuesto, plantea la pregunta de '¿dónde?' Como que, invariablemente, de saber, de distintas universidades (esp. en diferentes países) adoptar enfoques muy diferentes en la definición de "grad-nivel de cosas." También, ¿te refieres a 'las Matemáticas de segundo año?' Supongo que usted lo hace.

Las objeciones a un lado, yo diría que cualquier cosa a partir de varios aplicar temas en diff. nca./dyn. syst. de la teoría. Por ejemplo, grandes trozos de la Lin & Segel libro"Matemáticas Aplicadas a los Problemas Deterministas en las Ciencias Naturales' incl. (varios) multiescala nociones de conducción de calor & Sturm-Liouville teoría (que solía estar allí, pero fue empujado hacia fuera a medida que se hacía mayor de edad). También tiendo a pensar que gran parte de la teoría clásica de la ODA libros (Hale, Coddington & Levinson) sería accesible a un estudiante, pero a la vez estudiante de segundo año de clases todavía se centran en soluciones explícitas para casos especiales (no sin razón, pero aún así).

Como para el Cálculo de las Ciencias de la Vida, que usted menciona, no se preocupe: hay una fuerte hacia la unidad de encender el currículo de matemáticas en las Ciencias de la Vida (y viceversa!). Se puede tomar de una generación a apreciar la diferencia, pero va a suceder.