base del espacio vectorial de secuencias reales sobre$\mathbb{R}$

Question

Resulta que no puedo encontrar una base para el espacio vectorial de todas las funciones desde$\mathbb{N}$ a$\mathbb{R}$ (sobre$\mathbb{R}$).

Por el Lema de Zorn, hay una base. Entonces, ¿supongo que no puede ser escrito constructivamente?

¿Cuál es la dimensión entonces? Estoy pensando $2^{\aleph_0}$. No puede ser contable. Si lo fuera, entonces por una bijección de base, será isomorfo al conjunto de secuencias con entradas finamente no cero. Mi intuición dice que es absurdo. ¿Cómo probar esto?

Answer 1

Es coherente que el axioma de elección falla (y así lo hace el lema de Zorn como consecuencia) y $\Bbb{R^N}$ no tiene una base. Esto es una consecuencia, por ejemplo, de todos los conjuntos de números reales, teniendo la propiedad de Baire (algo que es falso bajo el axioma de elección, pero Solovay y Sela dio los modelos de donde es la verdad).

Por lo tanto, no podemos de manera constructiva exhibición de tal forma, aun cuando asumiendo el axioma de elección existe.

La dimensión del espacio vectorial es $2^{\aleph_0}$, y para ver esto uno tiene que observar dos hechos:

1. La cardinalidad del espacio en sí es $2^{\aleph_0}$ y, por tanto, una base no puede tener más de $2^{\aleph_0}$ elementos para comenzar con.

2. Cada $\ell_p$ espacio tiene una evidente incrustación de objetos (como un espacio vectorial, no como un espacio vectorial topológico) en $\Bbb{R^N}$. Uno puede mostrar que la dimensión de un infinito espacio de Banach no puede ser inferior a $2^{\aleph_0}$, y así tenemos un subespacio que tiene el máximo posible de la dimensión.

   O, se puede utilizar el argumento dado aquí y observa que los $\Bbb{R^N}$ es el dual algebraico de $\Bbb R[x]$, el espacio de los polinomios de más de $\Bbb R$.

El segundo punto puede ser utilizado para mostrar que es imposible que $\Bbb{\dim_RR^N}=\aleph_0$.

Answer 2

Otra forma de demostrar que no hay una base contable es demostrando que el espacio$\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ tiene un cociente que no admite una base contable. Esto es, de hecho, los hiperreals${}^\ast\mathbb{R}$. Por la propiedad de saturación, dada cualquier secuencia (contable) de hiperrealidades distintas de cero, se puede encontrar un infinitesimal que es incomparablemente más pequeño que todos los hiperrealistas en la secuencia. Esto muestra que no hay una base contable (pero, por supuesto, no da el$2^{\aleph_0}$ sin CH).

Answer 3

Daniel Fischer comentario es probablemente la ruta más sencilla para una respuesta completa, pero si solo queremos ver que la dimensión es incontable, a continuación, una Categoría de Baire argumento es otra manera fácil de hacer esto. Cualquier contables dimensiones subespacio de $\mathbb{R}^\mathbb{N}$ es una unión de countably muchos finito-dimensional subespacios, y cada finito-dimensional subespacio de $\mathbb{R}^\mathbb{N}$ es cerrado y denso en ninguna parte con respecto a la topología producto. El espacio de $\mathbb{R}^\mathbb{N}$ es un espacio de Baire, así que no es la unión de countably muchos cerrada, nada densa subconjuntos.