De acuerdo a wikipedia, una estructura algebraica es un conjunto arbitrario con uno o más finitary operaciones que se definen en ella. A partir de un modelo de teoría de la perspectiva, entiendo que esta definición como: estructura, sin relaciones, sólo las funciones y constantes (he añadido las constantes de mi definición, porque sé que el grupo, los anillos, las tiene). Así, por ejemplo, una orden de campo no es una estructura algebraica (tiene relación), y un conjunto no demasiado (ninguna función). Independientemente de la definición exacta, que una gran parte de las matemáticas que se ocupa del estudio de estas estructuras, y las relaciones entre ellos. La geometría de los beneficios de la geometría algebraica, teoría de números a partir de la teoría algebraica de números, y así sucesivamente. Mi pregunta es, ¿qué hacer este tipo de estructuras tienen en ellos, que nos hace el estudio y la uso mucho, y no otras estructuras?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Esto no es una respuesta completa, pero no estoy seguro de que tu pregunta puede ser contestada. Así que aquí están algunas ideas:
Como Zhen Lin estados en los comentarios, estructuras algebraicas son algo más simple tratar de estructuras con ambas funciones y relaciones. La restricción de la atención aún más, una clase de estructuras algebraicas que se llama una variedad de álgebras de si puede ser definida usando sólo las ecuaciones (como $x\cdot (y\cdot z) = (x\cdot y) \cdot z$). Ejemplos de variedades de grupos, anillos, módulos, álgebras booleanas... Variedades son el tema central de estudio en el campo del álgebra universal, y son muy lindas las clases por una variedad de razones (por ejemplo, que está cerrado bajo producto y subproducto, disponen de conexión a objetos...). Uno podría contestar que pasamos tanto tiempo estudiando y el uso de variedades de álgebras simplemente porque tienen un montón de estructura que es muy interesante y útil.
Pero usted debe tomar el punto anterior con un grano de sal. En primer lugar, una de las más importantes clases de estructuras algebraicas, la clase de campos, es no una variedad de álgebras, desde el campo axioma que requieren la recíproca no es una ecuación: tiene una más complicada estructura lógica. En segundo lugar, se puede restringir la atención a las estructuras relacionales, las estructuras de las relaciones, pero ninguna de las funciones o constantes. Estructuras relacionales son también muy agradable de tratar en ciertos contextos, y que también son muy importantes en matemáticas (es decir, la teoría de grafos).
Yo no creo que sea cierto que nos pasamos un montón de tiempo para estudiar y uso de estructuras algebraicas en lugar de otras estructuras. Creo que nos pasamos un montón de tiempo al estudio de ciertas estructuras algebraicas, y también a algunos no-estructuras algebraicas (como ordenó campos o gráficos), porque son muy interesantes y pertinentes. Usted encontrará una gran cantidad de la literatura más, por ejemplo, en los gráficos que quieras en los magmas. Los Magmas son buenas, estructuras algebraicas, pero su definición es demasiado amplio para ser particularmente interesante o útil (mis disculpas a los magma teóricos por ahí).
En cuanto a por qué las estructuras algebraicas de estudiar (por ejemplo, grupos, anillos, campos, etc.) han llegado a ser tan fundamental, bien, mucha gente han escrito acerca de esto mucho más elocuente que puedo. Pero creo que la principal razón es que son abstracciones de cosas concretas que nos importa en matemáticas - grupos de captura de la noción de simetría, los enteros son un anillo, bla, bla, bla.
