¿Cuál es un ejemplo de sistema lambda que no es un álgebra sigma?

Question

¿Cuál es un ejemplo de sistema lambda que no es un álgebra sigma?

Answer 1

He aquí un ejemplo algo más natural.

Dejemos que $(\Omega, \mathcal{F})$ sea un espacio medible, y sea $P,Q$ sean dos medidas de probabilidad sobre $\mathcal{F}$ . Es un buen ejercicio para verificar que $$\mathcal{L} := \{ A \in \mathcal{F} : P(A) = Q(A) \}$$ es un $\lambda$ -sistema. (Esta es una aplicación común del $\pi$ - $\lambda$ teorema: si se puede demostrar que $P$ y $Q$ acordar un $\pi$ -sistema que genera $\mathcal{F}$ entonces $P$ y $Q$ debe ser el mismo).

Sin embargo, $\mathcal{L}$ no necesita ser un $\sigma$ -Álgebra. Por ejemplo, consideremos un espacio muestral formado por dos lanzamientos de moneda: $$\Omega = \{ HH, HT, TH, TT \}, \quad \mathcal{F} = 2^\Omega.$$ Dejemos que $P$ sea la medida de probabilidad bajo la cual las monedas son independientes e insesgadas, y sea $Q$ sea la medida bajo la cual la primera moneda es insesgada pero la segunda moneda está pegada a la primera para que siempre salgan iguales. Explícitamente, $$P(HH)=P(HT)=P(TH)=P(TT)=\frac{1}{4}$$ $$Q(HH)=Q(TT)=\frac{1}{2}; \quad Q(HT)=Q(TH)=0.$$ Entonces se puede comprobar que los eventos en los que $P$ y $Q$ están de acuerdo son los que sólo miran una de las monedas (o ninguna), por lo que $$\mathcal{L} = \{ \{HH,HT\}, \{HH,TH\}, \{HT,TT\}, \{TH,TT\}, \emptyset, \Omega\}.$$ Esto no es una $\sigma$ -ya que no es cerrada bajo intersecciones.

Answer 2

Para otro ejemplo, dejemos que $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ sea un espacio de probabilidad y fije algún evento $A \in \mathcal{F}$ . Sea $\mathcal{L}$ sea la colección de todos los eventos que son independientes de $A$ es decir $$\mathcal{L} = \{ B \in \mathcal{F} : P(A \cap B) = P(A) P(B)\}.$$ No es difícil comprobar que $\mathcal{L}$ es un $\lambda$ -sistema. Para verlo no hace falta ser un $\sigma$ -álgebra, tomar como en mi otra respuesta un espacio de probabilidad $\Omega = \{HH, HT, TH, TT\}$ , $\mathcal{F} = 2^\Omega$ , $P(A) = \frac{1}{4} |A|$ que consiste en dos lanzamientos de moneda justos e independientes. Set $A = \{HH, HT\}$ en el caso de que la primera moneda salga cara. Entonces $\{HH, TH\}, \{HH, TT\}$ están en $\mathcal{L}$ pero su unión $\{HH, TH, TT\}$ no lo es.

Por cierto, esto es realmente de la misma forma que mi otra respuesta si tomamos $Q$ para ser la medida de probabilidad condicional $Q(E) = P (E \mid A) = P(E \cap A)/P(A)$ . (Excepto cuando $P(A)=0$ pero ese caso es trivial).