Existencia de una función infinitamente diferenciable$ f $ con$ {f^{(n)}}(0) = 0 $ para todos$ n \in \mathbb{N} $.

Question

¿Cómo se puede demostrar que existe una función infinitamente diferenciable$ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ tal que$ {f^{(n)}}(0) = 0 $ pero$ f^{(n)} \not\equiv 0 $ para todos$ n \in \mathbb{N} $?

Answer 1

La función$f(x)=e^{-1/x^2}$ es un ejemplo canónico.

Answer 2

La función$f$ dada por $$ f (x) = \begin{cases} \exp\left(-1/x\right),\quad&x>0,\\ 0,&x\leq 0 \end {cases} $$ tiene derivados de todos los pedidos que satisfacen$f^{(n)}(x)=0$ para$x\leq 0$ y$n\in\mathbb N$ . Ver, por ejemplo, wikipedia y / o esta pregunta .