Ejemplo de 2 matrices similares pero no equivalentes de fila

Question

Si dos matrices son de la fila equivalente, pueden no ser similares, porque todos invertible las matrices fila equivalente a $I$, sin embargo, no todos los invertible matrices tienen la misma traza, valores propios, etc.

También es cierto que si dos matrices son similares, no puede ser equivalente de fila? Mi instinto es que no hay ninguna razón para que los 2 similar matrices deben ser equivalente de fila, ya que tener el mismo rango, autovalores, determinante etc no necesariamente hacen fila equivalente.

Cualquier sugerencia en cuanto a cómo encontrar un contra-ejemplo?

Gracias por la ayuda.

Answer 1

PS

$$\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0\end{bmatrix}$ y $\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0\end{bmatrix}$ no son equivalentes de fila, aunque son similares.

Answer 2

Considerar todos los $n\times n$ diagonal de las matrices cuya diagonal entradas se $n$ distintos números fijos $d_1,d_2,\ldots, d_n$. (hay $n!$ de ellos). Asumir estos números para ser distinto de cero. Entonces es fácil ver que todos ellos son similares el uno al otro. (Uso de permutación de matrices como se ha hecho en la respuesta de Siong Thye Goh).

Pero estas matrices no son equivalente de fila: fila dos matrices equivalentes se conducen a sistemas de ecuaciones lineales con las mismas soluciones. Vamos RHS vector ser $v=(1,2,\ldots, n)^T$.

El sistema de $DX= v$ e $D'X=v$ no tienen la misma solución para $D,D'$ diagonal de las matrices de cumplir las condiciones anteriores.