Bueno, el título lo dice todo. Si consideramos el$P^2(\Bbb R)$ y el$P^2(\Bbb C)$, y los comparamos, supongo que será como una ronda$\Bbb R^2$ contra una esfera. No tengo muy buena intuición geométrica, así que realmente no puedo imaginarme esto bien, y generalmente me equivoco con estas cosas.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
A pesar de que su construcción son similares, estos dos espacios son en realidad muy diferente de la topológico punto de vista.
Recordemos que $P^2(K)$ es el conjunto de todos los subespacio unidimensional en $K^3$ donde $K = \mathbb R$ o $\mathbb C$ en este caso.
Para $P^2(\mathbb R)$, como todas las líneas pasa a través de la unidad de la esfera de $S^2 \subset \mathbb R^3$ en exactamente dos puntos de $x$ e $-x$, podemos pensar también en $P^2(\mathbb R)$ como
$$P^2(\mathbb R) = \mathbb S^2 /\{\pm 1\}\ .$$
Como resultado, vemos que $\mathbb S^2 $ es un dos a uno de la cubierta de $P^2(\mathbb R)$, y por lo tanto $\pi_1(P^2(\mathbb R)) = \{\pm 1\}$.
Para $P^2(\mathbb C)$, también se puede considerar la unidad de la esfera de $\mathbb S^5$ en $\mathbb C^3 \cong \mathbb R^6$. Sin embargo, ahora cada una de las complejas dimensiones de los subespacios intersecta a la esfera en un $\mathbb S^1$. En particular, tenemos la siguiente fibration
$$\mathbb S^1 \to \mathbb S^5 \to P^2(\mathbb C),$$
esto demuestra que $P^2(\mathbb C)$ es real en cuatro dimensiones (complejo de dos dimensiones).
