implica.

Question

Deje $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ ser continuamente una función derivable tal que $\underset{x\rightarrow\infty}{\lim}\frac{f(x)}{x}=0$ y supongamos $\underset{x\rightarrow\infty}{f'(x)}$ existe. Entonces Demostrar que $\underset{x\rightarrow\infty}{f'(x)}=0$

Puedo ver que si aplicamos L'hoptal del teorema directamente a $\frac{f(x)}{x}$ , entonces podemos obtener la respuesta. Pero, ¿es posible hacerlo sin conocer el valor de $\underset{x\rightarrow\infty}{f(x)}$

En el problema similar: se encuentran aquí, se han dado a la existencia de $\lim_{x\rightarrow\infty} f(x)$. Pero en este problema en particular que no

Answer 1

Como se indica, el resultado es incorrecto. Tome $f(x)=\sin x^2$ .

Answer 2

Supongamos $\lim_{x \to \infty} f'(x) >a >0$. A continuación, $f(n)-f(n-1) > a $ para $n$ suffciently grandes, por ejemplo para $n \geq n_0$ [Esto es por MVT]. A continuación, $f(n) \geq f(n_0)+ a (n-n_0)$ para $n \geq n_0$ lo que contradice la hipótesis de que la $\frac {f(x)} x\to 0$. Para el caso de $\lim_{x \to \infty} f'(x) <0$ simplemente reemplace $f$ por $-f$.