¿Cuántas soluciones existen para$\varphi(n)=\pi(n), n\in\mathbb{N}$?

Question

¿Cuántas soluciones existen para la siguiente ecuación?

\begin{align} \varphi(n)=\pi(n), n\in\mathbb{N}, \end{align}

donde$\varphi(n)$ es la función principal de Euler y$\pi(n)$ es la función de conteo principal.

Muchas gracias

Answer 1

Sorprendentemente, la lista de soluciones es finito: 2, 3, 4, 8, 10, 14, 20, 90. Por otra parte $\varphi(n)>\pi(n)$ para $n>90$.

Una prueba es dada en la página 179 en el siguiente trabajo de Leo Moser: "En la ecuación de $\varphi(n)=\pi(n)$", Pi Mu Epsilon J. 1951, 177-180.

Croquis de Moser de la prueba. Tenemos que $\varphi(n)-\pi(n)=B(n) - A(n)$ donde $A(n)$ es el número de primos divisores de $n$ y $B(n)$ es la número de no-primos, que no exceda de $n$ y son relativamente primos a $n$.

Ahora i) $\pi(\sqrt{n})\geq 2A(n)$ para $n>360$ (lema 3, donde Bertrand postulado se utiliza) y ii) $B(n)>\pi(\sqrt{n})-A(n)$ (lema 4).

Por lo tanto, para $n>360$, $$\varphi(n)-\pi(n)=B(n) - A(n)>\pi(\sqrt{n})-A(n)-A(n)\geq 0.$$

P. S. de Acuerdo http://oeis.org/A037171el resultado ha sido probado por David W. Wilson y Jeffrey Shallit, pero por desgracia no hay referencia se proporciona.