Recientemente, he revisado análisis elemental y me di cuenta de que cada teorema en el texto(Rudin-PMA) acerca de la serie puede ser generalizado a espacio de Banach.
Aquí es un ejemplo.
A continuación es el teorema afirma en el texto:
Deje $\sum a_n, \sum b_n$ ser convergente la serie en $\mathbb{C}$.
Si $\sum a_n$ es absolutamente convergente, entonces $\sum \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k} = \sum a_n \sum b_n$.
Me di cuenta de que este teorema se puede generalizar, en el contexto de un espacio de Banach. Es decir,
Deje $(V,\| \cdot \|)$ ser un espacio de Banach sobre $\mathbb{K}$
Deje $\sum v_n$ ser convergente la serie en $V$
Deje $\sum c_n$ ser convergente la serie en $\mathbb{K}$.
Si uno de esos de la serie es absolutamente convergente, entonces $\sum \sum_{k=0}^n c_k v_{n-k} = \sum c_n \sum v_n$.
Justo como en el ejemplo, he encontrado que la relación de la prueba, la prueba de comparación, Drichlet prueba etc. se pueden generalizar en espacio de Banach.
Es espacio de Banach el derecho de generalización para el estudio de la serie o es que hay otro conocido de contexto para el estudio de la serie?
