¿Inyectar un subgrupo abelian en la abelianisation de todo el grupo?

Question

¿Si $H <G $ grupos y H es abelian, conseguimos una inyección de H $G/[G,G] $?

Answer 1

Jajaja Tomar el $G=S_3$. Abelianization de $G$ es $C_2$. Pero es un subgrupo de $C_3$ $S_3$ y el ciertamente no inyectar $C_2$.

La propiedad universal correcto de la abelianization es como sigue:

Que $G$ ser un grupo, que $H$ es un Grupo abeliano y que $\phi\colon G\to H$ ser un homomorfismo. Luego hay un homomorfismo único $\hat{\phi}\colon G/[G,G]\to H$ tal que $\phi$ factores como: $$ \phi= G\xrightarrow {\pi} G / [G, G] \xrightarrow {\hat\phi} H $$

Answer 2

De hecho, esto sucede todo el tiempo nonabelian grupo $G$. Si $G$ no es abeliano, entonces su % del subgrupo del conmutador $[G,G]$es no trivial. Tomar cualquier $x\in[G,G]$ $1$ diferente y sea el subgrupo generado por $H$ $x$. ¡ $H$ Es abelian pero mapas a $0$ en el cociente $G/[G,G]$!