Un mapa lineal no continuo $A:\Bbb{R}[X]\rightarrow \Bbb{R}$ tal que $A(P)=P(1).$

Question

Tengo un mapa lineal $A:\Bbb{R}[X]\mapsto \Bbb{R}$ tal que $A(P)=P(1)$ para el $p-$ norma : $\Vert P\Vert=\bigl(\sum_{i=1}^n\vert a_i\vert^p\bigr)^{1/p}$ donde $p\in[1,+\infty].$

Para el caso en que $p=1$ es continua (desigualdad del triángulo), de todos modos para el caso $p>1$ Me gustaría demostrar que no es continuo.

Para ello puedo utilizar la caracterización secuencial de la continuidad, si $p=\infty$ el siguiente polinomio $P(X)=1+X+X^2+\cdots+X^n$ funciona, porque $\Vert P\Vert_{\infty}=1$ pero $\vert P(1)\vert=1+1+1+\cdots+1=n+1\rightarrow+\infty.$

De todos modos, estoy atascado por $1<p<\infty$ Siempre obtengo el mismo resultado...

¿Alguna idea?

EDIT : de hecho mi polinomio funciona para cualquier $p$ .

Answer 1

Sugerencia Definir una secuencia de polinomios por $$ P_n(x)= \frac{1}{\log(\log(n))}\sum_{k=0}^n \frac 1{k+1}x^k $$

Answer 2

Para un determinado $p\gt1$ Considera que $$ a_{n,k}=\left\{\begin{array}{cl} \dfrac1{n^{1/p}}&\text{if }1\le k\le n\\ 0&\text{if }k\gt n \end{array}\right. $$ Entonces $$ \begin{align} \left(\sum_{k=1}^\infty a_{n,k}^p\right)^{1/p} &=\left(\sum_{k=1}^n\frac1n\right)^{1/p}\\[6pt] &=1 \end{align} $$ mientras que $$ \begin{align} \sum_{k=1}^\infty a_{n,k} &=\sum_{k=1}^n\frac1{n^{1/p}}\\[6pt] &=n^{1-\frac1p} \end{align} $$

Answer 3

Respuesta parcial, para $p>2.$ Dejemos que $P_n(x)=\sum_{j=1}^n j x^j .$ Tenemos $$\|P_n\|^p=\sum_{j=1}^n j^p<\sum_{j=1} ^n\int_j^{j+1}y^p dy=\int_1^{n+1}y^p dy=$$ $$=\frac{(n+1)^{1+p}-1}{1+p}<\frac {(n+1)^{1+p} }{1+p}.$$ $$\text {So }\; \|P_n\|<\frac {(1+n)^{(1+1/p)}}{(1+p)^{1/p}}\;\text { But }\; P_n(1)=(n^2-n)/2.$$

Dejemos que $Q_n=P_n/n^{1+2/p}.\;$ Entonces $\lim_{n\to \infty}\|Q_n\|=0$ pero $\lim_{n\to \infty}Q_n(1)=\infty,$ así que $A$ es discontinuo en $0.$

Supongo que una variación de este enfoque debería funcionar para $1<p\leq 2.$