Un problema en el producto cuña de espacios topológicos

Question

Estoy estudiando topología algebraica y soy principiante en ella. Quiero demostrar que si $ (X, x_0) \sim (Y, y_0) $ y $(Z, z_0) \sim (W , w_0) $ puis $ X\vee Z \sim Y\vee W .$ X,Y, Z, W son espacios superiores

Tengo la intuición de que el producto cuña parece algo así como pegar dos espacios en un punto. No sé cómo puedo empezar a pensar en ello y resolverlo. Cualquier ayuda sería genial gracias.

Answer 1

En general, (sobre todo si eres nuevo en la topología algebraica), un buen enfoque puede ser que escribamos los mapas que te dan una equivalencia de homotopía de espacios. Te daré algunas pistas para que te pongas en marcha.

CONSEJOS:

• Comienza asumiendo que $(X, x_0) \sim (Y, y_0)$ y $(Z, z_0) \sim (W , w_0)$ . Esto es muy importante. Eso te dice que tienes algunos mapas de vuelta y que satisfacen una cierta propiedad que tiene que ver con su composición siendo homotopía equivalente a la identidad. Ten en cuenta estos mapas y las homotopías que te dan tus equivalencias de homotopía.

• Puedes utilizar estos mapas de ida y vuelta para construir tú mismo algunos mapas de ida y vuelta en las cuñas de los espacios $X\vee Z \leftrightarrow Y\vee W$ .

• A continuación, se quiere demostrar que la composición de estos mapas es homotópica a la identidad en ambos espacios, siendo la definición de los espacios homotópicos equivalente. Para ello, vas a querer usar las homotopías de antes, que te dan que tus espacios son homotópicos equivalentes.

Lo anterior es lo esencial de lo que imagino que es el argumento que querrá presentar. Inténtalo, y luego, si quieres más detalles, comenta y puedo intentar decir algo más.