Necesito expresar el tensor energía-momento electromagnético en el vacío $$T^\nu_{\ \ \ \mu} = F_{\mu\alpha}F^{\nu\alpha} - \frac14 F_{\alpha\beta}F^{\alpha\beta}\delta^\nu_{\ \ \mu}$$ en términos de $E_\mu$ y magnético $B^\mu$ Vector 4 campos $$E_\mu:=F_{\mu\nu}u^\nu, \quad \text{and} \quad B^\mu:=F^{*\mu\nu}u_\nu,$$ donde $F^{*\mu\nu}=\frac12\varepsilon^{\mu\nu\sigma\rho}F_{\sigma\rho}$ y $u^\mu$ es un arbitraria 4-velocidad temporal.
Lo mejor que puedo conseguir hasta ahora es $$\begin{multline} T^\nu_{\ \ \ \mu} = (E_\alpha E^\alpha +B_\alpha B^\alpha)\left(h^\nu_{\ \ \mu}-\frac12\delta^\nu_{\ \ \mu}\right)-E_\mu E^\nu - B_\mu B^\nu \\ -\varepsilon^{\nu\alpha\beta\gamma}u_\mu E_\alpha u_\beta B_\gamma -\varepsilon_{\mu\alpha\beta\gamma}u^\nu E^\alpha u^\beta B^\gamma ,\tag{1}\label{tag1} \end{multline} $$ donde $h^\nu_{\ \ \mu} = \delta^\nu_{\ \ \mu} + u^\nu u_\mu$ es el proyector.
No estoy seguro de este resultado aunque da la expresión convencional para $T^\nu_{\ \ \ \mu}$ si $u^\mu=(1,0,0,0)$ . La derivación es bastante larga. Normalmente, \eqref {tag1} está escrito para la velocidad de un observador comoving pero necesito para un general 4-velocidad . ¿Ha intentado alguna vez derivar la energía-momento para una velocidad arbitraria de 4 o conoce alguna referencia adecuada que pueda ayudar a comprobarlo? \eqref {etiqueta1}? Por favor, hágamelo saber.
Para obtener \eqref {tag1}, utilicé las identidades $$F_{\mu\nu} = u_\mu E_\nu - u_\nu E_\mu - \varepsilon_{\mu\nu\sigma\rho}u^\sigma B^\rho, \quad F^{*\mu\nu} = u^\mu B^\nu - u^\nu B^\mu + \varepsilon^{\mu\nu\sigma\rho}u_\sigma E_\rho,$$ que son válidos para un vector temporal arbitrario $u^\mu$ y el tensor de simetría oblicua $F_{\mu\nu}$ .
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¿Por qué quieres utilizar esos cuatro vectores (no invariantes)? No parecen muy útiles.
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@Buzz Los necesito para la simulación numérica donde a veces es conveniente utilizar la velocidad de un observador no móvil.
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@Buzz esos 4 vectores representan los campos eléctrico y magnético medidos por un observador que se mueve con 4 velocidades $u^\mu$ . Se definen de forma covariante.