Deje $X=\text{Spec }A$ ser afín esquema, y $G$ un subgrupo finito de automorfismos de $X$. Mostrar que $\text{Spec }A^G$ es $X/G$, con $\pi: X\to X/G$ dado por la inclusión natural.
Es decir, tenemos que mostrarle $\text{Spec }A^G$ cumple la característica universal del cociente, donde $A^G$ es el anillo fijo de automorfismos, y la universal de los bienes es que (a) $\pi\circ g=\pi$ para todos los $g\in G$, y (B) Si $Y$ es cualquier régimen y $\phi :X\to Y$ un morfismos de los esquemas que $\phi\circ g=\phi$ para todos los $g\in G$, entonces los factores a través de $\text{Spec }A^G$.
Ahora, si $Y$ es afín, creo que el problema es fácil. Desde la (antiequivalent) hecho es cierto en el nivel de anillos, entonces debe ser cierto en el nivel de afín esquemas. Es decir, si $\psi:B\to A$ satisface $g\psi(b)=\psi(b)$ para todos los $g$, entonces hay una bien definida mapa de $\theta:B \to A^G$ con $\theta(b)=\psi(b)$ que claramente desplazamientos con la inclusión.
Sin embargo, estoy atascado para cuando $Y$ no es afín. La cuestión de las sugerencias que usted debe utilizar el Primer evitación, y creo que este es utilizado en la demostración de que las fibras constan de las órbitas, pero no sé exactamente lo que estoy supone que debe mostrar.
He añadido esta tarde, y yo daría la bienvenida a cualquier corrección, o simplemente decirme si estoy equivocado:
En primer lugar vamos a investigar las fibras del mapa de $\pi$. La inclusión $A^G\hookrightarrow A$ es integral, ya que cada elemento de $z\in A$ satisface una ecuación de la forma $\prod_{g\in G}(x-gz)$. Por lo tanto, cada fibra no está vacía por la Mentira Más Teorema. Ahora bien, si tenemos dos números primos en la misma fibra, que es $P\cap A^G=Q\cap A^G$, a continuación, $P\subseteq \bigcup_{g\in G}gQ$ ya que si $p\in P$, a continuación, $\prod_{g\in G} gu \in P\cap A^G=Q\cap A^G$, por lo que algunas factor de $gu$ debe ser en $Q$. Por el primer evitación, $P\subseteq gQ$ para algunos $g$, y de nuevo por la integralidad (o incluso por simetría) podemos concluir $P=gQ$.
Supongamos $\phi:\text{Spec } A\to Y$ es una de morfismos de esquemas de satisfacer $G$invariancia como el anterior. Creo que el camino más lógico es definir un mapa de $\bar{\phi}:\text{Spec }A^G\to Y$ conjunto teóricamente como $\bar\phi(P)=\phi(P)$. Luego de demostrar que es continua, por lo que sería suficiente para demostrar que $\pi$ es un cerrado mapa, debido a que $\bar\phi^{-1}(C)$ para algunas conjunto cerrado $C\subseteq Y$ es, precisamente, ${\pi(\phi^{-1}(C))}$.
Para esto, sería suficiente para demostrar que, si $\phi^{-1}(C)=V(a)$ por algún ideal $a\subseteq A$, a continuación, $V(a\cap A^G)\subseteq\pi(V(a))$, (ya que tenemos la igualdad de $V(a\cap A^G)=\overline{\pi(V(a))}$ ). Pero esto es verdad por la Mentira Sobre el teorema de argumento. Por lo tanto, $\bar\phi$ es continua.
Por último, observe que para $f\in A^G$, tenemos que la localización de la $(A^G)_f=(A_f)^G$, por lo tanto, $\mathcal O_{\text{Spec }A^G}=\pi_*(\mathcal O_{\text{Spec }A})^G$. Por lo tanto el mapa de $\mathcal O_Y\to \phi_*(\mathcal O_{\text{Spec }A})^G=\bar\phi_*\pi_*(\mathcal O_{\text{Spec }A})^G=\bar\phi_*\mathcal O_{\text{Spec }A^G}$ ya existe y canónicamente da un morfismos de poleas $\mathcal O_Y\to \bar\phi_*\mathcal O_{\text{Spec }A^G}$ que termina nuestra morfismos de esquemas.
