$T_pS \subseteq T_pM$: ¿Son los espacios tangentes de subgrupos subconjuntos (y no incrustados) de espacios tangentes de la variedad original?

Question

Mi libro es Una Introducción a los Colectores por Loring W. Tu.

A partir de la Definición 8.1 y Observación 8.2 (y las definiciones de la Sección 2. ver más abajo), tenemos que

• A. $T_pM = T_pU$

• B. y $C_p^{\infty}M = C_p^{\infty}U$, donde (B) implica (A).

• Creo que ambas igualdades son realmente las igualdades no son isomorphisms (ver esta pregunta, mi pregunta anterior y mi pregunta anterior).

Esta pregunta dice que el diferencial de inclusión mapa de suave colectores es una inclusión mapa de la tangente espacios.

1. Pregunta 1. Si a y B son, de hecho, la igualdad, entonces es realmente ese $T_pS \subseteq T_pM$ (esto puede o no puede ser subespacio vectorial, pero creo que es) por $S \subseteq M$ regular/embedded submanifold y no simplemente que $T_pS$ es (espacio vectorial) isomorfo a un subespacio vectorial de $T_pM$ (por lo $T_pS$ está incrustado, en el espacio vectorial sentido, pero probablemente equivalente a la del colector de sentido, en $T_pM$)?

2. Pregunta 2. Si a y B son de hecho la igualdad y la respuesta a (1) es sí, entonces, ¿cómo hacemos para ver esto desde la Definición 8.1 y Observación 8.2 con $C_p^\infty S$ e $C_p^{\infty} M$?

   • Creo que puedo ver esta geométricamente con $S=S^1$, $M=\mathbb R^2$ e $p=(1,0)$ con $T_pS^1$, como la línea vertical isomorfo a $\mathbb R$ con $p$ como origen, al ser un subespacio vectorial de $T_p\mathbb R^2$, mientras que el avión isomorfo a $\mathbb R^2$ con $p$ como origen

   • pero no acabo de ver cómo un mapa de $D:C_p^{\infty}S \to \mathbb R$ es también un mapa de $D:C_p^{\infty}M \to \mathbb R$.

   • Creo que de alguna manera hacer algún tipo de suave extensiones, pero la mayoría de la suave extensiones que he encontrado son de abrir submanifolds o subconjuntos abiertos no son arbitrarias regular submanifolds.

   • Quizás $C_p^{\infty} S \supseteq C_p^\infty M$ o algo así.

3. Pregunta 3. Si (A) es simplemente un isomorfismo y no la igualdad, entonces, ¿por qué exactamente? Es de hecho que (B) es también meramente un isomorfismo y no la igualdad, y si es así, entonces ¿por qué exactamente?

Nota: Otras definiciones de espacio de la tangente de submanifold parecen ser explícitos en ser subconjuntos de la tangente espacios (en el mismo punto) de la original del colector. Ver el (embedded) submanifold parte en esta pregunta (sobre la inmerso submanifolds).

También: Ejercicio 11.1 parece implícitamente y casualmente asumir que $T_pS^n \subseteq T_p \mathbb R^{n+1}$ (y por lo tanto procede a discutir una condición sobre cómo ciertos elementos de $T_p \mathbb R^{n+1}$ son también elementos de $T_pS^n$)

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Sección 2 definiciones: página 11, página 12, página 13, página 14

Answer 1

Creo que ambas igualdades son realmente las igualdades no son isomorphisms

Esto no es muy cierto; puede ayudar a escribir las definiciones. Dado un colector $M,$ podemos formar el espacio vectorial $C^{\infty}(M)$ de las funciones lisas $f : M \rightarrow \Bbb R.$ , a Continuación, definimos, $$ C^{\infty}_p(M) = \left\{ [(f,V)]_M : V \subset M \text{ open containing } p, \ f \in C^{\infty}(U)\right\} / \sim_M,$$ donde nos cociente por una adecuada equivalencia de la relación de $\sim.$ a partir De esto podemos ver por $U \subset M$ abierto es obvio que isomorfismo, $$ C_p^{\infty}(U) \rightarrow C_p^{\infty}(M) \text{ sending } [(f,V)]_U \mapsto [(f,V)]_M, $$ lo que hace que se parece a los dos espacios son iguales. Pero no las clases de equivalencia son no igual, como conjuntos, porque incluso si empezamos con $[(f,V)]_U \in C^{\infty}_p(U),$ multiplicando por un adecuado corte podemos encontrar $g \in C^{\infty}(M)$ tal que $(g,M) \sim_M (f,V).$ Evidentemente si $U \neq M,$ entonces $(g,M) \not\in [(f,V)]_U.$

Lo que se dice, porque tenemos un "canónica" isomorfismo $C_p^{\infty}(U) \cong C_p^{\infty}(M)$ básicamente podemos pretender que estos conjuntos son iguales y la caída de los subíndices, donde nos implícitamente el uso de esta identificación cada vez. Esto es algo que se hace muy a menudo, porque no hay realmente ningún daño en pretender que estos objetos son en realidad iguales ya que nos hemos fijado una opción de identificación.

Nota esto también le da un isomorfismo canónico $T_pM \cong T_pU$ utilizando el sobre de identificación, pero de nuevo no son iguales como conjuntos. La gente todavía escribir $T_pM=T_pU$ sin embargo, debido a que son esencialmente el mismo.

Es importante tener en cuenta también que hay un montón de maneras de definir todas estas nociones, y se puede demostrar que todos ellos son equivalentes en una adecuada canónica sentido. Esto es en parte por qué podría no ser demasiado preciso, debido a que tanto la convención de los dependientes y a los que seguramente no va a causar ninguna ambigüedad.

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Pienso que esto es más o menos debe responder a las preguntas 2 y 3, así que me dirijo ahora a su primera pregunta:

Tenga en cuenta que si $S \subset M$ es un integrado submanifold, la inclusión del mapa de $\iota : S \hookrightarrow M$ induce un mapa de $\mathrm{d}\iota_p : T_pS \rightarrow T_pM$ para todos los $p \in M,$ y este mapa está siempre con una inyección. De nuevo, porque el hecho de que $S \subset M$ nos da una elección canónica de identificación, no hay mucho daño en el pensamiento de $T_pS \subset T_pM.$

Además de las dificultades técnicas a un lado, geométricamente desea pensar de $T_pS$ ser un subconjunto de $T_pM;$ intuitivamente el espacio de la tangente de una variedad en un punto codifica todas las posibles direcciones en las que se puede viajar. Así que si usted está en un submanifold $S,$ el conjunto de instrucciones que pueden viajar puede, naturalmente, como un subconjunto de las instrucciones se puede viajar en el espacio ambiente $M.$ Esto es especialmente instructivo, en el caso de $M = \mathbb R^n,$ donde tenemos clásica, definiciones equivalentes de el espacio de la tangente que codifica esta intuición (y donde algunos autores realmente definen $T_pS$ como un subconjunto de $\Bbb R^n$).

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Algunas observaciones adicionales:

• He sido deliberadamente vaga sobre el uso de la palabra canónica; hay maneras en que uno puede formalizar esta medida, pero creo que va a causar más confusión. Si quieres una idea de lo que quiero decir por canónicamente equivalente en el contexto de la tangente espacios, ver el volumen 1, Capítulo 3, Teorema 4 de Spivak es "Una completa introducción a la geometría diferencial" (tercera edición). Usted puede encontrar interesantes.

• Me gustaría subrayar una vez más que estos abstracta y general de las definiciones no son como las que usted debe pensar acerca de estos conceptos en general; esta es la misma como la forma en que usted nunca piensa en un número real como una dedekind corte, o los racionales como clases de equivalencia de pares de números enteros, etc. Esto es un poco de un punto delicado porque los matemáticos queremos definiciones formales a la tierra todo nuestro razonamiento, pero es una habilidad importante también pensar acerca de estos conceptos a un nivel superior. Esto será especialmente importante para un tema como la geometría diferencial, donde pronto tendrás más y más conceptos abstractos que se acumulan unos sobre otros, por lo que deberá tener cuidado de no perder la intuición geométrica a lo largo del camino.