Ok, esto es simplemente Ramanujan la clase de invariantes $g_{n}, G_{n}$ en el disfraz. Tenemos
\begin{align}G_{n} &= 2^{-1/4}e^{\pi\sqrt{n}/24}(1 + e^{-\pi\sqrt{n}})(1 + e^{-3\pi\sqrt{n}})(1 + e^{-5\pi\sqrt{n}})\cdots\tag{1}\\
g_{n} &= 2^{-1/4}e^{\pi\sqrt{n}/24}(1 - e^{-\pi\sqrt{n}})(1 - e^{-3\pi\sqrt{n}})(1 - e^{-5\pi\sqrt{n}})\cdots\tag{2}\end{align}
Poner a $n = 1$, en tanto las fórmulas y dividiendo ellos se obtiene la expresión en cuestión como $$(G_{1}/g_{1})^{8}$$ We have $G_{1} = 1, g_{1} = 2^{-1/8}$ so the desired value $2$ se obtiene fácilmente.
Se conoce a partir de la teoría de las integrales elípticas/funciones y theta funciones que $G_{n}, g_{n}$ son números algebraicos de número racional positivo $n$. El cálculo de estos valores en general racional $n$ es difícil (excepto para los chicos como Ramanujan que de la mano calcula un host de tales valores para muchos enteros $n$).
Para la pregunta actual es suficiente para el uso de las fórmulas $$G_{n} = (2kk')^{-1/12},\,g_{n} = \left(\frac{2k}{k'^{2}}\right)^{-1/12}\tag{3}$$ where $k$ is a real number with $0 < k < 1$ and $$k = k(e^{-\pi\sqrt{n}}), k' = \sqrt{1 - k^{2}}\tag{4}$$ and in general $$k = k(q) = \frac{\vartheta_{2}^{2}(q)}{\vartheta_{3}^{2}(q)}\tag{5}$$ in terms of Jacobi's Theta functions. The important thing to note here is that if $n = 1$ then $q = e^{-\pi}$ and $k = k' = 1/\sqrt{2}$ and then values of $G_{1}, g_{1}$ are easily obtained from $(3)$.
