Esta es una pregunta de mi propia preguntando, procedente de una mala interpretación de la OP pregunta en este hilo donde se me ha demostrado lo siguiente:
Teorema: Una función continua $f:[a,b] \to \mathbb{R}$ que es estrictamente creciente en $(a,b)$ también es estrictamente creciente en $[a,b]$.
Prueba:
Asumiendo $f:[a,b] \to \mathbb{R}$ es una función continua, tendremos $f\Big( (a,b) \Big) = (c,d)$ para algunos $c,d \in \mathbb{R}$ debido a que la imagen continua de un conjunto conectado está conectado. Tenga en cuenta que este hecho también implica $f(b) = w$ para algunos $w \in [c, d]$. Ahora supongamos $f(b) \neq d$; es decir, supongamos $w \in [c, d)$. Considerar la preimagen del intervalo de $U = (w- \varepsilon, \ w + \varepsilon)$, donde $0 < \varepsilon < |d-w|$. Se vería $f^{-1}(U) = (r, s) \ \cup \ \{b\}$, donde $a<r<s<b$. Por lo $\{b\}$ está aislado del resto de este conjunto, a partir de la cual podemos ver que $f^{-1}(U)$ no está abierto. Debido a $U$ es un conjunto abierto y $f^{-1}(U)$ no es, $f$ no puede ser continua. Por lo tanto, la continuidad de las fuerzas de $f(b) = d$, tal como lo hace $f(a) = c$ por una análoga argumento.
Después de haber hecho esto, me preguntaba cuán fácil sería para adaptar la estrategia básica para probar una más general topológica de la declaración, y llegué a esta hipótesis (incorrecto: a ver a Eric Wofsey del post):
Deje $X$ ser un espacio de Hausdorff, $U \subset X$ un conjunto abierto, y $f: \overline{U} \to Y$ una función continua en un localmente compacto Hausdorff espacio donde $f:U \to f(U)$ es un homeomorphism. A continuación, $f: \overline{U} \to f(\overline{U})$ es también un homeomorphism.
Algunas ideas:
Por este hecho, sé que esto es suficiente para demostrar que la restricción de $f$ para el límite de $\partial U$ de $U$ es bijective. Esta es la razón por la que he elegido la "localmente compacto Hausdorff" condición: creo que me puede ayudar a garantizar la inyectividad. Es decir, supongamos $f(p) = f(q)$ para $p, q \in \partial U$. Por Hausdorffness, podemos separar $p$ e $q$ con distinto abrir barrios $S_p$ e $S_q$. Siguiente, la imagen de $S_p$ va a ser un barrio de $f(p)$, lo que necesariamente contiene un abierto barrio de $f(p)$ por la compacidad. A continuación, la preimagen de este conjunto se ha $\{q\}$ como un punto aislado, por lo que no puede ser abierto y por lo tanto $f$ sería discontinua (esto se siente mano ondulado, como si me falta algo y no sé qué).
Preguntas:
- Qué bits de los de arriba están mal?
- ¿Cuál es el caso más general, la declaración de que uno puede hacer aquí?
- ¿Cómo puedo abordar surjectivity? Tengo un par de ideas vagas que podría hacer esto más fácil, como la exigencia de que los límites de cada componente de $U$ a conectar, pero estos son en gran parte infundadas las corazonadas, y me siento tratando de justificar aquí iría en detrimento de los post.
Para fomentar tanto el discurso como sea posible, estoy dispuesto a aceptar una respuesta y premio una recompensa por un segundo sustanciales de las respuestas, suponiendo que conseguir más de uno. Carnoso respuestas parciales anima.