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Generalización de un teorema a partir del análisis real con respecto a funciones estrictamente crecientes

Esta es una pregunta de mi propia preguntando, procedente de una mala interpretación de la OP pregunta en este hilo donde se me ha demostrado lo siguiente:

Teorema: Una función continua $f:[a,b] \to \mathbb{R}$ que es estrictamente creciente en $(a,b)$ también es estrictamente creciente en $[a,b]$.

Prueba:

Asumiendo $f:[a,b] \to \mathbb{R}$ es una función continua, tendremos $f\Big( (a,b) \Big) = (c,d)$ para algunos $c,d \in \mathbb{R}$ debido a que la imagen continua de un conjunto conectado está conectado. Tenga en cuenta que este hecho también implica $f(b) = w$ para algunos $w \in [c, d]$. Ahora supongamos $f(b) \neq d$; es decir, supongamos $w \in [c, d)$. Considerar la preimagen del intervalo de $U = (w- \varepsilon, \ w + \varepsilon)$, donde $0 < \varepsilon < |d-w|$. Se vería $f^{-1}(U) = (r, s) \ \cup \ \{b\}$, donde $a<r<s<b$. Por lo $\{b\}$ está aislado del resto de este conjunto, a partir de la cual podemos ver que $f^{-1}(U)$ no está abierto. Debido a $U$ es un conjunto abierto y $f^{-1}(U)$ no es, $f$ no puede ser continua. Por lo tanto, la continuidad de las fuerzas de $f(b) = d$, tal como lo hace $f(a) = c$ por una análoga argumento.


Después de haber hecho esto, me preguntaba cuán fácil sería para adaptar la estrategia básica para probar una más general topológica de la declaración, y llegué a esta hipótesis (incorrecto: a ver a Eric Wofsey del post):

Deje $X$ ser un espacio de Hausdorff, $U \subset X$ un conjunto abierto, y $f: \overline{U} \to Y$ una función continua en un localmente compacto Hausdorff espacio donde $f:U \to f(U)$ es un homeomorphism. A continuación, $f: \overline{U} \to f(\overline{U})$ es también un homeomorphism.

Algunas ideas:

Por este hecho, sé que esto es suficiente para demostrar que la restricción de $f$ para el límite de $\partial U$ de $U$ es bijective. Esta es la razón por la que he elegido la "localmente compacto Hausdorff" condición: creo que me puede ayudar a garantizar la inyectividad. Es decir, supongamos $f(p) = f(q)$ para $p, q \in \partial U$. Por Hausdorffness, podemos separar $p$ e $q$ con distinto abrir barrios $S_p$ e $S_q$. Siguiente, la imagen de $S_p$ va a ser un barrio de $f(p)$, lo que necesariamente contiene un abierto barrio de $f(p)$ por la compacidad. A continuación, la preimagen de este conjunto se ha $\{q\}$ como un punto aislado, por lo que no puede ser abierto y por lo tanto $f$ sería discontinua (esto se siente mano ondulado, como si me falta algo y no sé qué).

Preguntas:

  • Qué bits de los de arriba están mal?
  • ¿Cuál es el caso más general, la declaración de que uno puede hacer aquí?
  • ¿Cómo puedo abordar surjectivity? Tengo un par de ideas vagas que podría hacer esto más fácil, como la exigencia de que los límites de cada componente de $U$ a conectar, pero estos son en gran parte infundadas las corazonadas, y me siento tratando de justificar aquí iría en detrimento de los post.

Para fomentar tanto el discurso como sea posible, estoy dispuesto a aceptar una respuesta y premio una recompensa por un segundo sustanciales de las respuestas, suponiendo que conseguir más de uno. Carnoso respuestas parciales anima.

6voto

Adam Malter Puntos 96

Esto es sólo horriblemente falsa. Por ejemplo, incluso sólo en el caso de que el dominio es un intervalo de $[a,b]$, considerar el mapa de $f:[0,2\pi]\to S^1$ dado por $f(t)=e^{it}$. A continuación, $f$ es una incrustación en $(0,2\pi)$, pero $f$ no es inyectiva.

No es cierto incluso si se limita a (digamos) abrir subconjuntos de $\mathbb{R}^n$ y mapas a $\mathbb{R}^n$. Por ejemplo, el mapa de $f:[0,1]^2\to\mathbb{R}^2$ dado por $f(x,y)=(x,xy)$ es una incrustación en su interior (un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^2$), pero no es inyectiva en el límite, ya que se derrumba toda la línea límite $\{0\}\times[0,1]$ a un punto.

Su argumento va mal cuando se afirma que la imagen de $S_p$ es un barrio de $f(p)$. Eso no es necesariamente cierto (de hecho, en el ejemplo anterior, la imagen de $[0,1)$ no es un barrio de $f(0)$, por ejemplo).

5voto

user142385 Puntos 26

No sé si me estoy perdiendo algo, pero su declaración se ve mal. $e^{ix}$ es un mapa continuo desde $[0,2\pi]$ a $S^{1}$ y es un homeomorfismo om $(0,2\pi)$ . Pero este mapa no es inyectivo en $[0,2\pi]$ .

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