$\sin(\frac{\pi}{n})\sin(\frac{2\pi}{n})...\sin(\frac{(n-1)\pi}{n})=\frac{n}{2^{n-1}}$

Question

Demostrar <span class="math-container">$$\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)\sin\left(\frac{3\pi}{n}\right).....\sin\left(\frac{(n-1)\pi}{n}\right)=\frac{n}{2^{n-1}}$ $</span>

Hay una prueba sin utilizar números complejos y <span class="math-container">$n-th$</span> raíces de la unidad.

Answer 1

La siguiente es la más sencilla prueba que yo conozco. Tenemos la identidad \begin{equation} x^{2n} - 2x^n y^n \cos n\theta + y^{2n} = \bigg\{x^2 -2xy \cos \theta + y^2\bigg\}\bigg\{x^2-2xy \cos \bigg(\theta+\frac{2\pi}{n}\bigg)+y^2\bigg\}\cdots \end{equation} a $n$ factores que agregan $2\pi/n$ a cada uno de los ángulos sucesivamente. Esto puede observarse teniendo en cuenta la LHS y RHS comparten las mismas raíces en $x$ el uso de los números complejos, pero dado que los números complejos son una trigonométricas comodidad, me imagino que hay un no-complejo camino para llegar a la identidad. Deje $x=y=1$, $\theta = 2\phi$, y se aplican $1-\cos\theta = 2\sin(\theta/2)$ \begin{equation} \sin n\phi = 2^{n-1} \sin \phi \sin\bigg(\phi + \frac{\pi}{n}\bigg)\sin\bigg(\phi + \frac{2\pi}{n}\bigg) \cdots \sin\bigg(\phi + \frac{(n-1)\pi}{n}\bigg) \end{equation} Dividir por $\sin \phi$ y deje $\phi \rightarrow 0$ para obtener la ecuación

Answer 2

Sugerencia: Observar que tenemos <span class="math-container">$$ z ^ {n-1} + \cdots+z +1 = \bigg (\bigg z-\exp(\frac{2\pi i}n)) \cdots\bigg (z-\exp(\frac{2\pi i(n-1)}n)\bigg) $$</span> Ahora que <span class="math-container">$z=1$</span> y utilizar algunos trigonometría en el lado derecho...