Deje $(f_n)$ ser una secuencia en $L^p$ tales que $$ \| f_{n+1}-f_n\|_{p} <\frac 1{2^n} \ \forall n\in\mathbb{N} $$ y vamos a $$ f: X \a [0,\infty], \ x \mapsto \sum_{n=1}^\infty| f_{n+1}(x)-f_n(x)|. $$ El uso de Fatou Lema para mostrar que $f$ toma valores reales en casi todas partes.
Debemos demostrar la existencia de $A$ tal que $\mu(A)=0$ y para todas las $x\in A^C$, $f\in\mathbb R$ utilizando Fatous Lema de la cual los estados
$$
\int_X\liminf_nf_n
\le\liminf_n\int_X f_n.
$$
Mi idea de tomar las piezas de la integridad de la prueba de $L^p$ es lo que tenemos de la serie $f(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\vert f_{n+1}(x)-f_n(x)\vert$ converge por lo $f(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\vert f_{n+1}(x)-f_n(x)\vert<\infty$ y esto vale para todos los $x\in X$ y, a continuación, ¿cómo voy a definir el conjunto $A$?
No estoy utilizando en todos los Fatou Lema porque no sé cómo.
actualización
Estoy tratando de entender los pasos en la prueba.
está demostrado que
$$\int_A|f(x)|^pd\mu\leq \liminf_m\int_A|F_m(x)|^p dx\leq\liminf_m\sum_{n=1}^m\frac{1}{2^{pn}}d\mu<\infty.$$
Hay un montón de pasos falta. Traté de llenar.
$\displaystyle\int_A\vert f(x)\vert^pdx=\int_A|\liminf_mF_m(x)|^pdx=\int_A\liminf_m|F_m(x)|^pdx\le\liminf_m\int_A|F_m(x)|^pdx=\liminf_m\int|\sum^m_{n=1}|f_{n+1}(x)-f_n(x)||^pdx\fbox{=}\liminf_m\sum^m_{n=1}\int_A|f_{n+1}(x)-f_n(x)|^pdx=\liminf_m\sum^m_{n=1}||f_{n+1}(x)-f_n(x)||_p^p\le\liminf_m\sum^m_{n=1}\frac{1}{2^{np}}\fbox=?$
Pregunta: Suponiendo que el igualdades y desigualdades son correctos, ¿por Qué es el segundo de la igualdad, la caja de la igualdad y lo que es igual en la última caja de la igualdad?
También está demostrado que el
Tomando $A$ a $\mathbb{R}$, se deduce que el $\int_A|f(x)|^pd\mu<\infty$ lo que implica $\mu(\{|f|=\infty\})=0$.
Pregunta: no Debe haber sido escrito como
Tome $A$ a $\mathbb R.$
De todos los argumentos anteriores (y no sólo de $A=\mathbb R$), se deduce que el $\int_A|f(x)|^pd\mu<\infty$ lo que implica $\mu(\{|f|=\infty\})=0$ ??
Parece como originalmente se encuentra, la afirmación depende sólo de $A=\mathbb R$. Pero es independiente de la toma de $A$ como $\mathbb R$. Estoy en lo cierto?
