¿Qué es el coproducto fibrado de los grupos abelianos?

Question

De la wikipedia:

No estoy seguro de entender esto. Por ejemplo:

Supongamos que tenemos $\alpha: \mathbb Z/(3) \to \mathbb Z/(6)$ donde $$0\mapsto 0, \quad 1 \mapsto 2, \quad 2 \mapsto 4,$$ y tenemos $\beta: \mathbb Z/(3) \to \mathbb Z/(9)$ donde $$0\mapsto 0, \quad 1 \mapsto 3, \quad 2 \mapsto 6.$$

Entonces queremos el subgrupo de $\mathbb Z/(6) \oplus \mathbb Z/(9)$ que consiste en $(0,0), (2,-3), (4, -6)$ ? ¿Por qué?

Por qué $(\alpha(z), -\beta(z))$ ? ¿Por qué la negativa? $\beta(z)$ ?

¿Cómo sabemos que las parejas formadas por $(f(z), -g(z))$ siempre será un subgrupo?

Answer 1

El término "encolado" proviene probablemente de la topología.

Si $f:A\to B$ y $g:A\to C$ entonces queremos considerar $B+C$ (esto no es más que la unión disjunta en la categoría de espacios topológicos) y la cola $B$ y $C$ a lo largo de $f$ y $g$ , por identificando $f(a)$ con $g(a)$ para cada $a\in A$ .
Es decir, tomamos el cociente por la relación de equivalencia generada por la relación $f(a)\sim g(a)$ , por lo que en el cociente tendremos efectivamente $f(a)=g(a)$ .

Lo mismo ocurre con los grupos abelianos.
El coproducto es la suma directa, y queremos hacer cumplir $f(a)=g(a)$ , o de forma equivalente, $f(a)-g(a)=0$ para todos $a\in A$ por lo que tomamos el subgrupo generado por los elementos $f(a)-g(a)$ en $B\oplus C$ y tomar el cociente por esto.

Tenga en cuenta también que en su ejemplo, tenemos $-(2,-3)=(-2,3)=(4,-6)$ .

Answer 2

Primera pregunta :

El objetivo es definir un grupo $G$ tal que el siguiente diagrama es conmutativo: \begin{alignat}{3} \mathbf Z&/3\mathbf Z& &\xrightarrow{\enspace\beta\enspace} \mathbf Z&&/9\mathbf Z \\ &\llap{\alpha}\downarrow&&&&\downarrow \\ \mathbf Z&/6\mathbf Z& &\xrightarrow{\quad\quad}&&G \end{alignat} y $G$ tiene la propiedad universal con respecto a este diagrama. Así que primero se definen los mapas de $\mathbf Z/6\mathbf Z$ y $\mathbf Z/9\mathbf Z$ a su suma directa: $$z\bmod 6\longmapsto(z\bmod 6,0),\qquad z\bmod 9\longmapsto(0,z\bmod 9).$$ Escribiendo que las imágenes de $\alpha(z)$ y $\beta(z)$ en un cociente de la suma directa son iguales, se obtiene la condición de que el núcleo de la suma directa a $G$ contiene todos los elementos de la forma $\;\bigl(\alpha(z),-\beta(z)\bigr)$ .

En realidad, el conjunto de todos estos elementos es un subgrupo de la suma directa, como resulta de $\alpha$ y $\beta$ siendo homomorfismos de grupo.

Answer 3

Encolar es quizás un poco engañoso en algunas categorías, pero básicamente significa identificar algunas cosas. Lo que se quiere identificar son las imágenes de los mapas dados (aquí $\alpha$ y $\beta$ ) dentro del coproducto (aquí la suma directa). Si haces esto en algunas categorías más geométricas como la categoría de espacios topológicos también puedes ver de dónde viene el término pegar. En nuestro caso queremos asegurar que la ecuación $\alpha(g) = \beta(g)$ se mantiene dentro de la suma directa, lo que equivale a forzar la diferencia $\alpha(g) - \beta(g) = 0$ . Por lo tanto, obtenemos la señal que usted se preguntaba. Asegurarse de que una de estas ecuaciones equivalentes se mantiene significa tomar el cociente por el subgrupo que está definido por la ecuación. Esta es una configuración muy natural que utilizamos bastante. Por ejemplo, si queremos hacer un grupo abeliano, sacamos el cociente de los conmutadores para forzarlos a ser triviales y así obtener la abelianización.

Y respecto a tu otra pregunta: Puedes simplemente hacer el cálculo para ver que estas tuplas forman un grupo.

Si quieres entender los pushouts más desde un punto de vista abstracto, intenta construirlos mediante coproductos y coequalizadores. Como los coequalizadores son los objetos que hacen que los morfismos coincidan, este es el camino a seguir.