Integral

Question

<blockquote> <p>Buscar <span class="math-container">$$\int_{0}^{2\pi} \ln \left(2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\right)dx$ $</span></p> </blockquote> <p>He probado algunas sustituciones, pero sin efecto.</p>

Answer 1

Si dejamos que <span class="math-container">$u=x/2$</span>, entonces tenemos

<span class="math-container">$$I=\int_0^{2\pi}\ln(2\sin(x/2))dx=2\int_0^\pi\ln(2\sin u)du=2\int_0^\pi\ln(4\sin(u/2)\cos(u/2))du$$</span>

El siguiente paso es para justificar

<span class="math-container">$$\int_0^\pi\ln(2\sin(u/2))dx=\int_0^\pi\ln(2\cos(u/2))du=\frac{1}{2}I$$</span>

(puede mostrar esto?) Como tal, tenemos <span class="math-container">$I=2I$</span>, que <span class="math-container">$I=0$</span>.

Answer 2

Para los interesados, les presento el enfoque total de overkill.

Recordemos la definición del coseno: <span class="math-container">$$\cos(z)=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}.$$</span> Por lo tanto <span class="math-container">$$\begin{align} \sum{k\ge1}\frac{\cos kx}{k}&=\frac12\sum{k\ge1}\frac{e^{ikx}}{k}+\frac12\sum_{k\ge1}\frac{e^{-ikx}}{k}\ &=-\frac12\ln(1-e^{ix})-\frac12\log(1-e^{-ix})\ &=-\frac12\ln[(1-e^{ix})(1-e^{-ix})]\ &=-\frac12\ln[2-e^{ix}-e^{-ix}]\ &=-\frac12\ln[2-2\cos(x)]\ &=-\frac12\ln\left[4\sin^2(x/2)\right]\ &=-\ln\left[2\sin(x/2)\right]. \end {Alinee el} $</span> por lo tanto <span class="math-container">$$\begin{align} J&=\int0^{2\pi}\ln(2\sin(x/2))dx\ &=-\sum{k\ge1}\frac1k\int0^{2\pi}\cos kx\ dx\ &=-\sum{k\ge1}\frac{\sin2\pi k-\sin0}{k^2}\ &=0 \end {Alinee el} $</span>