Nudos en $\mathbb{R}P^2$ y en las tiras de Möbius de n medio giro

Question

Puede incrustar un no-trivial nudo en la superficie de $\mathbb{R}P^2$? Sé que podemos en un toro, y no podemos en una 2-esfera. Mi mano-ondulado argumento/intuición basada en lo poco que sé de auto-estudio de Hatcher del libro es que no puede ser, ya que el grupo fundamental de la $\mathbb{R}P^2$ es $\mathbb{Z}_2$, aunque no sé cómo construir sobre eso, si es que incluso el argumento de la derecha.

Otra manera en que traté de ver este era utilizar el hecho de que si se quita un disco de $\mathbb{R}P^2$, se obtiene una cinta de Moebius. Esto lleva a algunas otras preguntas.

Puede incrustar un no-trivial nudo en una cinta de Moebius con un solo medio giro? Creo que no, que se basa en no ser capaz de dibujar uno. Pero con tres-la mitad de giros, el límite es un trébol así que esto nos da inmediatamente un no-trivial nudo, y así sucesivamente para las grandes impar de la mitad-giros.

Y entonces la otra pregunta es, cuando se retire el disco de la $\mathbb{R}P^2$, ¿cuántos de medio giros que hace la cinta de Moebius tiene (si es que aún tiene sentido preguntar sin la incrustación de la tira en $\mathbb{R}^3$)?

Mi motivación para esta pregunta es que si esto tiene sentido y puede tener varios giros, esto podría permitir que un nudo se en $\mathbb{R}P^2$ cuando pegamos de nuevo el disco. Si él siempre tiene un solo toque, y que la cinta de Moebius no tiene un nudo, luego de pegar el disco no crear un nudo y lo $\mathbb{R}P^2$ no será capaz de tener cualquier nudos en él.

Ahora mi pregunta final, que es más vago y para que yo no he hecho el intento, si es posible tener nudos, lo que les sucede cuando el $\mathbb{R}P^2$ está inmerso en $\mathbb{R}^3$? Son en conserva, o puede que se rompan debido a la necesidad de $\mathbb{R}P^2$ a auto se cruzan en cualquier inmersión? ¿Cómo puedo intento de resolver este/¿qué herramientas son las mejores para estudiar esto?

Answer 1

Aquí están las definiciones que estoy usando:

• Un nudo $K$ , en un espacio de $X$ es un subespacio que es homeomórficos a $S^1$.
• Un trivial nudo es un nudo $K$ tales que existe una incrustado en dos dimensiones de disco $D\subset X$ con $\partial D=K$.
• Dos nudos son equivalentes si existe una isotopía $I\times X\to X$ que lleva un nudo en el otro.

(Ya que estamos trabajando en la dimensión en la mayoría de las $3$, no estoy siendo cuidadoso acerca de los aspectos técnicos de la suave por tramos lineales incrustaciones.)

Echa un vistazo a Rolfsen del libro "los Nudos y Enlaces" para la clasificación de los nudos en el torus $T^2$. (Resumen: para cada par de coprime números de $p,q\in\mathbb{Z}$, no hay un único nudo trivial hasta equivalencia en la homología de la clase $(p,q)\in\mathbb{Z}^2\approx H_1(T^2)$. No hay ninguna que no sea trivial nudos en cualquier otro homología de clases).

Para una superficie de $\Sigma$, entonces cada nudo orientado $K$ en $\Sigma$ da una clase conjugacy de $\pi_1(\Sigma)$. Esto es debido a que la elección del punto de base es importante, pero sólo cambia el elemento de $\pi_1(\Sigma)$ por conjugación. Hay un teorema que si dos nudos son de libre homotópica (es decir, si corresponden a la misma clase conjugacy en $\pi_1(\Sigma)$), entonces son equivalentes. Ver la Proposición 1.10 de "Una cartilla en la asignación de los grupos de la clase."

Consideremos $\mathbb{R}\mathrm{P}^2$. Sabemos $\pi_1(\mathbb{R}\mathrm{P}^2)\approx \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$, que tiene exactamente dos clases conjugacy. Por el análisis anterior, no trivial nudos, si existen, deben ser libremente homotópica para el generador. El uso de un Hatcher estilo de identificación diagrama, podemos extraer un bucle $\alpha$ que representa el generador así:

El uso de cubrir espacios, puesto que $\mathbb{R}\mathrm{P}^2$ es el doble cubierto por $S^2$, y desde esta $\alpha$ es la imagen de un camino entre antipodal puntos de $S^2$, debe ser un generador.

Debido a $\alpha$ es una curva cerrada simple, es un nudo, y puesto que no es nullhomotopic, no es equivalente a la de un nudo trivial.

Compare esto a $S^2$: desde $\pi_1(S^2)=1$, cada nudo es trivial. (Este es el 2D Schoenflies teorema.)

Extracción de un disco de $\mathbb{R}\mathrm{P}^2$ da una cinta de Moebius, que tiene un grupo fundamental de la $\mathbb{Z}$. El $\alpha$ bucle se corresponde con el núcleo del círculo en la franja de gaza, que es un nudo trivial. El único otro nudo trivial es a partir de la manipulación de $\alpha\cdot\alpha$ un poco; esto es paralelo dos curvas en la franja de gaza, pero se unen para formar un solo bucle, o, más simplemente se dice que es el límite de la cinta de Moebius.

No hay ninguna forma para intrínsecamente contar el número de vueltas en una cinta de Moebius, y la mejor que se puede decir "es un número impar." Sin embargo, si usted realmente incrustar la cinta de Moebius en $\mathbb{R}^3$, entonces usted puede contar el número de vueltas, pero es más complicado de lo que inicialmente podría pensar. Dada una incrustación, considere el círculo principal de la cinta de Moebius, que es un nudo en $\mathbb{R}^3$. Cada nudo tiene una canónica de encuadre, que es una continua elección de los vectores normales en cada punto del nudo. La canónica de los marcos (también conocido como el $0$-framing) tiene la propiedad de que si usted toma el nudo $K$ y tomar una copia $K'$ que se muevan $K$ en la dirección de cada uno de sus vectores normales (que se llama push-off), entonces la vinculación entre la cantidad de $K$ e $K'$ es $0$. Con este encuadre, usted puede contar cuántas veces la cinta de Moebius giros como usted va alrededor de $K$.

Si el círculo principal de la cinta de Moebius es un nudo trivial, entonces esta definición coincide con la idea intuitiva de que el número de giros.

Te llevan hasta cómo si usted toma un unknotted la inserción de una cinta de Moebius con tres giros, entonces su límite es un nudo de trébol, que es trivial. Este es un ejemplo específico de una más general de construcción llamado un satélite de la operación que se conoce como un cable, donde se toma un nudo y lugar a lo largo de una cinta de Moebius con cierto número de giros. Si usted comienza con el unknot, a continuación, los cables son todos los que no son triviales nudos, a menos que la cinta de Moebius es dado $\pm 1$ giros; colectivamente todos ellos son conocidos como $(2,t)$ toro nudos (que no debe confundirse con nudos en un toro como al principio!), donde $t$ es el número impar de giros. Si usted comienza con cualquier nudo trivial, entonces todo el cableado de que también va a ser un nudo trivial.

Tal vez esto va a aclarar algo: si $K$ es un nudo en una superficie de $\Sigma$ e $\Sigma$ está incrustado en $\mathbb{R}^3$, entonces si $K$ es trivial en $\Sigma$, es trivial en $\mathbb{R}^3$, pero sólo porque el $K$ podría ser trivial en $\mathbb{R}^3$no es necesariamente trivial en $\Sigma$. Que es, porque puede ser un disco en $\mathbb{R}^3$ cuyo límite es $K$ no significa que haya también un disco incrustado en la superficie!

Yo no sé realmente lo que sucede con los nudos de las superficies sumergidas. Usted debe tomar un poco de cuidado porque el nudo de la equivalencia en la superficie podría llevar a que el nudo de pasar a través de sí mismo desde el punto de vista de la $\mathbb{R}^3$. Todo lo que sé es que el Muchacho de la superficie, que es una inmersión de $\mathbb{R}\mathrm{P}^2$ en $\mathbb{R}^3$, da una incrustado trébol procedentes de la $\alpha\cdot\alpha$ nudo en la cinta de Moebius: https://commons.wikimedia.org/wiki/Boy%27s_surface

Me pregunto si hay algo que decir acerca de tomar un nudo $K$ en una superficie de $\Sigma$ que está inmersa en la $\mathbb{R}^3$, luego busca en el conjunto de todos los tipos de nudo en $\mathbb{R}^3$ que provienen de nudos, equivalente a $K$ en $\Sigma$? La parte interesante aquí es que las singularidades son lugares donde se puede pasar el nudo a través de la misma. Hay una inmersión de $\mathbb{R}\mathrm{P}^3$ donde su nudo trivial es siempre trivial en $\mathbb{R}^3$?