hallazgo

Question

<blockquote> <p>Buscar <span class="math-container">$$\lim_{n\rightarrow\infty }\frac{\frac{1}{2}+\frac{\sqrt 2}{3}+\dots+\frac{\sqrt n}{n+1}}{\sqrt n}$ $</span></p> </blockquote> <p>Mi trabajo</p> <p><span class="math-container">$$\lim_{n\rightarrow\infty }\frac{\frac{1}{2}+\frac{\sqrt 2}{3}+\dots+\frac{\sqrt n}{n+1}}{\sqrt n}=\frac{\sum_{m=1}^n\frac{\sqrt m}{m+1}}{\sqrt n}$$</span></p> <p>La serie <span class="math-container">$$\sum_{m=1}^\infty \frac{\sqrt m}{m+1}$$</span> ¿no converge así puedo decir <span class="math-container">$\lim_{n\rightarrow\infty }\frac{\frac{1}{2}+\frac{\sqrt 2}{3}+\dots+\frac{\sqrt n}{n+1}}{\sqrt n}$</span> no existe?</p>

Answer 1

La serie $$\sum_{m=1}^\infty \frac{\sqrt m}{m+1}$$ no convergen así que puedo decir $\lim_{n\rightarrow\infty }\frac{\frac{1}{2}+\frac{\sqrt 2}{3}+\dots+\frac{\sqrt n}{n+1}}{\sqrt n}$ no existe?

Porque Zacky eliminado su respuesta, voy a repetir el útil la observación de que la divergencia de un numerador no significa que la fracción necesariamente se aparta...

Como para encontrar el límite; puede reescribir hacia una suma de Riemann: $$\lim_{n\rightarrow\infty }\frac{\frac{1}{2}+\frac{\sqrt 2}{3}+\dots+\frac{\sqrt n}{n+1}}{\sqrt n}=\lim_{n\rightarrow\infty }\sum_{k=1}^{n}\frac{\sqrt k}{(k+1)\sqrt n}=\lim_{n\rightarrow\infty }\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\frac{k+1}{\sqrt {kn}}} \tag{$\estrella de$}$$ Ahora usted tiene una cota superior: $$(\star) : \lim_{n\rightarrow\infty }\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\frac{k+1}{\sqrt {kn}}}\color{blue}{\le}\lim_{n\rightarrow\infty }\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{{\sqrt {\frac{k}{n}}}} = \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,\mbox{d}x = \color{blue}{2}$$ pero también un límite inferior: $$\begin{align}(\star) : \lim_{n\rightarrow\infty }\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\frac{k+1}{\sqrt {kn}}} =\lim_{n\rightarrow\infty }\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt\frac{k^2+2k+1}{{kn}}} & \color{red}{\ge}\lim_{n\rightarrow\infty }\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{{\sqrt {\frac{k+3}{n}}}}\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty }\frac{1}{n}\sum_{m=4}^{n+3}\frac{1}{{\sqrt {\frac{m}{n}}}}\\[5pt] & = \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,\mbox{d}x = \color{red}{2}\end{align}$$ Por lo tanto tenemos: $$\boxed{\lim_{n\rightarrow\infty }\frac{\frac{1}{2}+\frac{\sqrt 2}{3}+\dots+\frac{\sqrt n}{n+1}}{\sqrt n} = 2}$$

Answer 2

<span class="math-container">$$\lim{n\rightarrow\infty }\frac{\frac{1}{2}+\frac{\sqrt 2}{3}+\dots+\frac{\sqrt n}{n+1}}{\sqrt n}=\lim{n\rightarrow\infty }\sum_{r=1}^{n}\frac{\sqrt r}{(r+1)\sqrt n}$$</span>

<span class="math-container">$$=\lim{n\rightarrow\infty }\sum{r=1}^{n}\frac{\sqrt{\frac rn}}{n\frac{(r+1)}{n}}$$</span> <span class="math-container">$$=\lim{n\rightarrow\infty }\frac 1n\sum{r=1}^{n}\frac{\sqrt{\frac rn}}{\frac rn + \frac1n}$$</span>

<span class="math-container">$$=\int\limits_0^1\frac{\sqrt x}{dx+x}dx \approx \int\limits_0^1\frac{\sqrt x}{x}dx$$</span> <span class="math-container">$$=\boxed{2}$$</span>

Answer 3

Por el teorema de Cesàro-Stolz (una discreta versión de la regla de l'Hospital para $\frac\infty\infty$), el cociente $\frac{\sum_{m=1}^n a_m}{\sum_{m=1}^n b_m}$ tiene un límite si el denominador crece hasta el infinito y el cociente $\frac{a_n}{b_n}$ de los últimos términos tiene un límite, y entonces ambos límites tienen el mismo valor.

Aquí $$ \frac{a_n}{b_n}=\frac{\frac{\sqrt{n}}{n+1}}{\sqrt{n}-\sqrt{n-1}}=\frac{n+\sqrt{n(n-1)}}{n+1}\xrightarrow{n\to \infty} 2. $$

Answer 4

El hecho de que <span class="math-container">$$\sum{m=1}^\infty \frac{\sqrt m}{m+1}$$ diverges does not mean <span class="math-container">$% $ $\sum{m=1}^n \frac{\sqrt m}{m+1}$</span> también.</span>

Por ejemplo, la de suma de armónicos <span class="math-container">$\sum{m=1}^\infty \frac{1}{m}$</span> es divergente, pero la suma hasta <span class="math-container">$n$</span>, es decir, <span class="math-container">$\sum{m=1}^n \frac{1}{m}$</span> es un número racional.