¿Por qué diverge $\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{1+(x \sin x)^2}$?

Question

Me gustaría tu ayuda para entender y mostrar por qué $\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{1+(x \sin x)^2}$ diverge. Tal como lo veo, los "puntos problemáticos" donde la función puede explotar están respaldados por la suma con $1$. ¿Qué puedo hacer para demostrar que diverge?

¡Muchas gracias!

Answer 1

Heurísticamente:

Cada vez que $\sin x$ cruza por cero, el integrando sube brevemente hasta $1$ y vuelve a bajar. La única esperanza para que la integral converja es si la anchura de esos picos tiende hacia $0$ lo suficientemente rápido como para que la suma de sus áreas sea finita.

Sin embargo, la anchura de cada pico está determinada principalmente por la pendiente de $x\sin x$ en el cruce por cero: el doble de la pendiente significa la mitad de ancho de un pico, y así sucesivamente. Desafortunadamente, estas pendientes forman una progresión aritmética alternante: $0, -\pi, 2\pi, -3\pi, \ldots$. Esto significa que, en el límite, la anchura de los picos en el integrando (y por lo tanto las áreas de los picos) disminuyen proporcionalmente a $1/n$ -- y eso no es lo suficientemente rápido como para tener suma finita.

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Espero que este razonamiento se pueda hacer riguroso tomando la "anchura de un pico" como, por ejemplo, la anchura de un intervalo donde $\frac{1}{1+(x\sin x)^2}\ge \frac 12$. Entonces, ciertamente cada pico contribuye al menos la mitad de su anchura a la integral, y debería ser posible probar que la anchura del pico en $n\pi$ es estrictamente mayor que $a/n$ para alguna constante $a` y posiblemente excluyendo los primeros picos.

Answer 2

Solo para demostrar que hay varias formas de hacer esto:

\begin{eqnarray} \int_{k\pi}^{(k+1)\pi} \frac{dx}{1+(x\sin x)^2} & \ge & \int_0^\pi \frac{dx}{1 + ((k+1)\pi)^2(\sin x)^2} \\ & \ge & \int_0^\pi \frac{dx}{1 + ((k+1)\pi)^2 x^2} \\ & = & \frac{\arctan((k+1)\pi^2)}{(k+1)\pi} \ge \frac{1}{(k+1)\pi} \end{eqnarray}

El primer paso utiliza $x \le (k+1)\pi$ y la periodicidad de $\sin^2$ y el tercer paso utiliza la sustitución $y = (k+1)\pi x.