Núcleo de operadores del laplaciano de Dirichlet

Question

Estoy leyendo Reed-Simon Vol. 4, página 274. Tenemos la siguiente situación: Sea $\Omega \subset \mathbb R^m$ ser un $m$ -y considerar el Dirichlet-Laplaciano $-\Delta_D=\Delta_D^\Omega$ con dominio de forma cuadrática $H^1_0(\Omega)$ .

$\textbf{Proposition. }$ El conjunto $D_D := \{f: f\in C^\infty(\Omega), f {\restriction}_ {\partial\Omega} = 0 \}$ es un núcleo de operadores para $-\Delta_D$ y para todos $f\in D_D$ , $$-\Delta_D f = -\sum_{i=1}^n \frac{\partial^2}{\partial x_i^2} f.$$

En la prueba de esta proposición afirman lo siguiente:

Dejemos que $A$ sea el operador $-\Delta$ con dominio $D_D$ . $A$ es claramente simétrica, y por separación de variables (series múltiples de Fourier) podemos encontrar una base ortonormal completa de funciones propias $\{ \varphi_n \}$ para A. Si $A\varphi_n = \lambda_n \varphi_n$ es fácil ver que $\varphi \in D(\overline{A})$ si y sólo si $\sum \lambda_n^2 \lvert (\varphi_n, \varphi) \rvert^2 < \infty$ y de ello se deduce que $\overline{A}$ es autoadjunto.

¿Puede alguien explicarme este párrafo? Dos páginas más adelante dan explícitamente la base propia así que contaré eso como una explicación, pero lo siguiente es lo que no veo tan fácilmente. Por qué se mantiene el "si y sólo si" y por qué se puede concluir que $\overline{A}$ es autoadjunto?

Libro extracto (gracias a Keith McClary).

Answer 1

He pensado un poco más en esto y creo que podría tener una respuesta. Sería bueno que alguien pudiera corregirlo:

En primer lugar, observamos que $D(\overline A) = \overline{D(A)}^{\lVert \cdot \rVert _A}$ , donde $\lVert \varphi \rVert = \lVert A \varphi \rVert + \lVert \varphi \rVert$ . Para la arbitrariedad $\varphi \in D(\overline{A}),$ tenemos por la ecuación de Parseval $$\lVert \overline A \varphi \lVert = \sum_{i=0}^\infty \lvert (\varphi_i, \overline{A} \varphi) \lvert^2 = \sum_{i=0}^\infty \lambda_i^2 \lvert (\varphi_i, \varphi) \lvert^2$$ Ahora probamos la afirmación:
$"\subseteq"$ : Si para $\varphi \in D(\overline A)$ tenemos $\sum_{i=0}^\infty \lambda_i^2 \lvert (\varphi, \varphi_i)\rvert^2 = \infty$ por lo anterior $\lVert \overline A \varphi \rVert = \infty$ . Pero esto es una contradicción con $\operatorname {im } \overline{A} \subseteq L^2$ .
$"\supseteq"$ : Supongamos que $\sum_{i=0}^\infty \lambda_i^2 \lvert (\varphi, \varphi_i)\rvert^2 < \infty$ para algunos $\varphi \in L^2$ . Afirmamos que la secuencia $$\left( b_n := \sum_{i=0}^n (\varphi_i, \varphi) \varphi_i \right )_{n\in \mathbb N}$$ es una secuencia en $D(A)$ y Cauchy con respecto a $\lVert \cdot \rVert_A$ . Estando en $D(A)$ está claro, así como el hecho de que $\lim_{n\to \infty} b_n = \varphi$ en el $L^2$ -norma (ya que el $\varphi_i$ son un ONB). Por lo tanto, queda por demostrar que $Ab_n$ es una secuencia de Cauchy. Sea $N\in \mathbb N$ y WLOG $m > n \geq N$ . Calculamos $$\lVert A(b_m - b_n) \rVert = \left \lVert A \left(\sum_{k=n+1}^m (\varphi_k, \varphi) \varphi_k\right)\right \rVert \\ = \sum_{l=0}^\infty \lambda_l^2 \left \lvert \left ( \sum_{k=n+1}^m (\varphi_k, \varphi ) \varphi_k ,\varphi_l \right ) \right \rvert^2 \\ = \sum_{l=0}^\infty \left \lvert \sum_{k=n+1}^m \lambda_l (\varphi_k, \varphi) \delta_{kl} \right \rvert^2 = \sum_{l=n+1}^m \lambda_l^2 \lvert (\varphi_l,\varphi) \rvert^2 \leq \sum_{l=N}^\infty \lambda_l^2 \lvert (\varphi_l, \varphi) \rvert^2 \stackrel{N\to \infty}{\longrightarrow} 0.$$ Por lo tanto, $\varphi \in D(\overline A)$ .