¿Se puede solucionar esta ecuación? $x+\sin(x)=\frac{11\pi}{48}$

Question

Así estaba revisando un problema mayor y ver si puedo solucionarlo de una manera diferente. Hierve la ecuación abajo a esto: <span class="math-container">%#% $ #%</span> no me puedo imaginar cómo aislar x y un número de computadoras problemas también analizaron en el esfuerzo. Desmos puede resolverlo, pero no da el valor exacto. ¿Hay una manera de hacerlo? Gracias.

Answer 1

Respuesta corta

No, esa ecuación, como la mayoría de los sistemas de ecuaciones en el campo de aplicación, no pueden ser resueltos analíticamente, pero sólo numéricamente.

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General

Dado un sistema de $n$ ecuaciones no lineales, puede ser escrita en la forma: $$\mathbf{f}(\mathbf{x}) = \mathbf{0}\,,$$ con $\mathbf{f} : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ un vector en función de algo más de los valores reales.

En particular, para el método de Newton-Raphson, tenemos: $$\mathbf{x}_{i + 1} = \mathbf{x}_i - \mathbf{J}_{\mathbf{f}}^{-1}(\mathbf{x}_i) \cdot \mathbf{f}(\mathbf{x}_i)$$ donde $\mathbf{x}_0$ es un valor inicial lo suficientemente cerca del cero deseada. El método se detiene cuando: $$||\mathbf{x}_{i + 1}-\mathbf{x}_i|| < \epsilon\,,$$ con $\epsilon$ pre-establecido de acuerdo a sus necesidades.

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Ejemplo 1D

$$ f(x) := x + \sin x - 1\,, \; \; \; \; \; \; x_0 = \frac{1}{2}\,, \; \; \; \; \; \; \epsilon = 10^{-5} $$

$$x_1 = x_0 - \frac{1}{1 + \cos x_0}\cdot\left(x_0 + \sin x_0 - 1\right) = 0.5109579530$$ $$x_2 = x_1 - \frac{1}{1 + \cos x_1}\cdot\left(x_1 + \sin x_1 - 1\right) = 0.5109734294$$ $$x_3 = x_2 - \frac{1}{1 + \cos x_2}\cdot\left(x_2 + \sin x_2 - 1\right) = 0.5109734294$$ $$||x_3-x_2||<\epsilon \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \bar{x} \approx 0.51097$$

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Ejemplo 2D

$$ \mathbf{f}(x,\,y) := \begin{bmatrix} x + \sin y - 1 \\ y + \sin x - 2 \end{bmatrix}\,, \; \; \; \; \; \; \begin{bmatrix} x_0 \\ y_0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \end{bmatrix}\,, \; \; \; \; \; \; \epsilon = 10^{-5} $$

$$ \begin{bmatrix} x_1 \\ y_1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_0 \\ y_0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{1}{1-\cos x_0\,\cos y_0} & \frac{-\cos y_0}{1-\cos x_0\,\cos y_0} \\ \frac{-\cos x_0}{1-\cos x_0\,\cos y_0} & \frac{1}{1-\cos x_0\,\cos y_0} \end-{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x_0 + \sin y_0 - 1 \\ y_0 + \sin x_0 - 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.0640488478 \\ 1.9359511522 \end{bmatrix} $$ $$ \begin{bmatrix} x_2 \\ y_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1 \\ y_1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{1}{1-\cos x_1\,\cos y_1} & \frac{-\cos y_1}{1-\cos x_1\,\cos y_1} \\ \frac{-\cos x_1}{1-\cos x_1\,\cos y_1} & \frac{1}{1-\cos x_1\,\cos y_1} \end-{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x_1 + \sin y_1 - 1 \\ y_1 + \sin x_1 - 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.0654484016 \\ 1.9345982498 \end{bmatrix} $$ $$ \begin{bmatrix} x_3 \\ y_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_2 \\ y_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{1}{1-\cos x_2\,\cos y_2} & \frac{-\cos y_2}{1-\cos x_2\,\cos y_2} \\ \frac{-\cos x_2}{1-\cos x_2\,\cos y_2} & \frac{1}{1-\cos x_2\,\cos y_2} \end-{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x_2 + \sin y_2 - 1 \\ y_2 + \sin x_2 - 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.0654490492 \\ 1.9345976668 \end{bmatrix} $$ $$\left|\left|\begin{bmatrix} x_3 \\ y_3 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} x_2 \\ y_2 \end{bmatrix}\right|\right|<\epsilon \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \begin{bmatrix} \bar{x} \\ \bar{y} \end{bmatrix} \approx \begin{bmatrix} 0.06545 \\ 1.93460 \end{bmatrix}$$

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Nota

Debería ser evidente que una vez que el conjunto en el cual el cero se encuentra y no hay problemas de inversión de la primera derivada, este método es prácticamente el mejor que pueden ser eliminados, trivialmente aplicable en una hoja de cálculo como Microsoft Excel. Para que la carga o el honor de la aplicación de todo esto a su caso específico.

Answer 2

$f(x)=x+\sin x$ es monótonamente creciente, y sin límites, por lo que no será exactamente una solución.

$y=\frac{11\pi}{48}$ es (relativamente) pequeño, por lo que una primera conjetura es obtenido mediante el establecimiento $\sin x\approx x$ conseguir $x\approx \frac{11\pi}{96}$. Un mejor valor se obtiene mediante la inclusión de la siguiente término de la sinusoidal de la serie, $$ 2x-\frac16x^3\aprox y\implica x\approx \frac y2 + \frac{y^3}{96}. $$ Esto le da el valor numérico $x=0.3638613210103829$ que ya está cerca de los (más) valor exacto $0.363965532996313$.

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En lugar de incluir más términos de la sinusoidal de la serie, también se podría directamente recorrer en iteración del punto fijo de la ecuación $$ x=g(x)=\frac12(y+x-\sin(x)) $$

Answer 3

La pista.-La ecuación ser trascendental hacemos el cálculo numérico y la parada donde nos consideran suficiente aproximación. Para esto hay varias formas. Aquí uno.

Primera $a=\dfrac{11\pi}{48}\approx0.7194831$. Segundo, en el barrio de $0$ uno ha $x\approx\sin(x)$ lo $x+x=2x\approx0.7194831\Rightarrow x\approx0.359974$ que es una primera aproximación.

Ahora para $f(x)=x+\sin(x)$ tenemos los sucesivos valores $$f(0.36)\approx0.712...\lt a\\f(0.365)\approx0.72...\gt a\\f(0.364)\approx0.72...\gt a\\f(0.363)\approx0.718...\lt a$$ Trying with $x$ from $0.3635$ till $0.3639$ we have $f(x)\lt a$ then with $x=0,36395$ till $0.363965$ obtenemos $$f(0.363965)\approx 0.719947\approx a$$

Nos detenemos en esta aproximación se $x\approx0.363965$

Answer 4

Como se dijo en los comentarios y respuestas, encontrar el cero de la función $$f(x)=x+\sin(x)-k$$ requerirá de algunos métodos numéricos.

Sin embargo, podemos obtener aproximaciones de la solución. Por ejemplo, escriba $k=x+\sin(x)$, ampliar la rhs como un desarrollo en serie de Taylor y el uso de la serie de reversión para obtener $$x=\frac{k}{2}+\frac{k^3}{96}+\frac{k^5}{1920}+\frac{43 k^7}{1290240}+\frac{223 k^9}{92897280}+\frac{60623 k^{11}}{326998425600}+O\left(k^{13}\right)$$ Using it for $k=\frac{11\pi}{48}$ would give $x=0.3639655328$ while the "exact" solution would be $x=0.3639655330$.

Otra forma sería el uso de $[1,n]$ Padé approximants y las sucesivas aproximaciones vendría dado por $$\left( \begin{array}{cc} n & x_{(n)} \\ 1 & \frac{k}{2}\\ 2 & -\frac{24 k}{k^2-48}\\ 3 & \frac{k \left(k^2-48\right)}{4 \left(k^2-24\right)}\\ 4 & -\frac{80 \left(k^3-24 k\right)}{k^4-240 k^2+3840}\\ 5 & \frac{3 \left(k^5-240 k^3+3840 k\right)}{2 \left(11 k^4-960 k^2+11520\right)}\\ 6 & -\frac{28 \left(11 k^5-960 k^3+11520 k\right)}{k^6-1344 k^4+67200 k^2-645120} \end{array} \right)$$ which, for $k=\frac{11\pi}{48}$, le daría a los valores $$\left( \begin{array}{cc} n & x_{(n)} \\ 1 & 0.3599741582 \\ 2 & 0.3639037546 \\ 3 & 0.3639471248 \\ 4 & 0.3639651460 \\ 5 & 0.3639655395 \\ 6 & 0.3639655330 \end{array} \right)$$

Podríamos incluso se vuelven a combinar ambos enfoques de la transformación de la expansión de la serie en un Padé approximant para obtener, como expresión más corta, $$x=\frac k 2 \times \frac{1-\frac{541 }{6768}k^2+\frac{2221 }{2842560}k^4}{1-\frac{341 }{3384}k^2+\frac{697 }{379008}k^4}$$ which, for the worked case, would give again $x=0.3639655328$.