No. Como ejemplo tomemos $X$ que es distinto de la unión de la Knaster–Kuratowski fan de $X_1$ e intervalo de $X_2=[0,1]$. Desde $X_1$ contiene una dispersión punto, cada mapa continuo $X_2\to X_1$ es constante. Por lo tanto, para cada mapa continuo $T: X\to X$ bien $T(X_1)\subset X_1, T(X_2)\subset X_2$ (en cuyo caso $T$ del curso no puede ser topológicamente transitivo) o $T(X)\subset X_1$ (ídem) o $T(X)\subset X_2$ (ídem) o $T(X_1)\subset X_2$, $T(X_2)=\{x_1\}\subset X_1$. Considerar el último caso y establezca $x_2=T(x_1)\in X_2$. A continuación, para cada $n\ge 2$, $T^n(X)\subset \{x_1, x_2\}$. Es evidente que ese $T$ no puede ser topológicamente transitivo bien.
Edit 1: en Realidad, uno puede incluso llevar a $X=(-1,0) \cup [1,2]$. Un argumento similar se va a trabajar ya que (aparte de los tres casos triviales) la imagen de $[1,2]$ en $(-1,0)$ va a ser un equipo compacto subinterval $I$ e $T^n(X)\subset I \cup [1,2]$ para todos los $n\ge 2$, por lo tanto, $T$ no puede ser topológicamente transitivo.
Edit 2: Se desprende de los resultados de
S. Alpern y V. S. Prasad: Típica dinámica de volumen de la preservación de homeomorphisms. Cambridge Tratados en Matemáticas, 139, Cambridge University Press, Cambridge, 2000.
que por cada conectado compacto o abrir y domar colector $M$ de la dimensión de $\ge 2$, existe un topológicamente transitivo homeomorphism $T: M\to M$.
Aquí un colector $M$ se llama domar si es homeomórficos al interior de un pacto manifold con frontera. En particular, cada una de las ${\mathbb R}^n$, $n\ge 2$, admite una topológicamente transitivo auto-homeomorphisms.
Observación. Parece que el primer ejemplo de este tipo de auto-mapa del avión es debido a la L. Shnirelman, 1930 (pero publicado en apenas un lugar accesible). El más común de referencia para topológicamente transitivo homeomorphisms de que el avión es
A. S. Besicovitch, Un problema en topológica de la transformación del plano, Fondo. De matemáticas. 28(1937), 61-65.
Como para la conexión de los colectores $M$ dimensión 1, mientras que (aparte de círculo), no habrá ningún topológicamente transitivo homeomorphisms. Sin embargo, siempre hay un topológicamente transitivo continua auto-mapa. Por ejemplo, si $M={\mathbb R}$, a continuación, un ejemplo está dado por
$$
T(x)= \begin{cases}
−3x+8n+2, & \hbox{if} ~~2n\le x\le 2n+1\\
5x−8n+2, & \hbox{if} ~~2n−1\le x\le 2n
\end{casos}
$$
con $n\in {\mathbb Z}$. Ver
A. Nagar y S. P. Sesha Sai, Algunas clases de transitivas mapas en
${\mathbb R}$, Jour. de Anal., 8 (2000), 103-111.
En particular, si $M$ es homeomórficos para la conexión de un grupo Mentira, a continuación, $M$ siempre admite un topológicamente transitivo continua auto-mapa.
En particular, cada finito-dimensional espacio de Banach admite un topológicamente transitivo continua auto-mapa. Esto deja abierto el caso de infinitas dimensiones de los espacios de Banach separables. (Como Dan Óxido señaló en un comentario, no es sólo un espacio de hasta un homeomorphism, por lo que es suficiente para entender el caso de $\ell_2$.)
Como para espacios compactos, la situación no está clara. Es sabido que si $M$ es un compacto metrizable finito-dimensional Peano continuo (es decir, conectado y conectado localmente en el espacio), a continuación, $M$ admite un topológicamente transitivo continua auto-mapa:
S. Agronsky y J. G. Cedro: Cada Peano subespacio de $E^k$ es $\omega$-límite establecido, Anal Real. Exchange 17 (1991/92), no. 1, 371-378.
Esto le da otra prueba de que cada uno de los compactos conectado el colector (posiblemente con límite) admite una topológicamente transitivo continua auto-mapa.
