Sobre la convergencia de las redes en un espacio topológico

Question

Consideremos un espacio topológico que no es necesariamente metrizable.

Pregunta: Me pregunto ¿cuál es la motivación para la definición de convergencia de redes en un espacio topológico. ¿Lo que obtenemos en el trabajo con la convergencia de redes en lugar de convergencia de secuencias?

Answer 1

Si $X$ es un espacio metrizable, la topología de $X$ está totalmente determinado por las secuencias convergentes: si sabemos que las secuencias en $X$ son convergentes, y cuáles son sus límites, podemos determinar exactamente qué subconjuntos de $X$ están abiertos. Esto es realmente cierto en un poco más grande de la clase de los espacios que sólo metrizable espacios, pero no es cierto para espacios topológicos en general.

Por ejemplo, supongamos $X$ ser una multitud innumerable, vamos a $\tau_0$ ser discreta de la topología en $X$, y deje $\tau_1$ ser el co-contable de la topología en $X$. A continuación, $\langle X,\tau_0\rangle$ e $\langle X,\tau_1\rangle$ no homeomórficos, pero tienen exactamente las mismas secuencias convergentes. Si $Y$ es cualquier innumerables subconjunto de $X$ tal que $X\setminus Y$ también es incontable, a continuación, $Y$ es abierto en la topología discreta, pero no en la co-contable de la topología. Y en cada topología de las secuencias convergentes son precisamente las secuencias que son finalmente constante.

Las redes son una generalización de las secuencias lo suficientemente potente como para la captura de la topología de cualquier espacio, no sólo de metrizable espacios: si $\tau_0$ e $\tau_1$ son topologías en un conjunto $X$ que tienen exactamente el mismo convergente de redes, a continuación,$\tau_0=\tau_1$. Esto, muy simple, es la principal motivación para mirarlos.