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Espacio cerrado curvas de curvatura constante

Que el espacio cerrado de las curvas de curvatura constante hay?

Dos familias vienen a la mente: los círculos cerrados y hélices alrededor de un toro (ambos tienen - además - la constante de torsión).

¿Qué otras familias de curvas de curvatura constante hay?

Hay especialmente nudos de curvatura constante? Puede - por ejemplo - el nudo de trébol ser realizado por una curva de curvatura constante?

Agregado: Si fuera posible de viento de una curva alrededor de un cilindro, y doblar el cilindro de nuevo a sí mismo, al tiempo que se mantiene la curvatura de la hélice constante por los ajustes pertinentes -, formando así una eventual arbitrariamente anudado toro con un cerrado hélice en ella, uno podría tener cada nudo como una curva de curvatura constante. El papel de los Nudos de Curvatura Constante podría estar relacionado con este punto de vista. Es interesante, pero no es exactamente lo que estoy buscando.

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theog Puntos 585

Puede - por ejemplo - el nudo de trébol ser realizado por una curva de curvatura constante?

Aquí está una calculada numéricamente la solución afirmativa.

constant curvature trefoil knot

Es una $C^2$ curva con curvatura constante $\kappa=1$ y seccionalmente constante de torsión, hecha por pegando seis piezas de las hélices. Tres de las piezas han de torsión $\tau_1=-0.3$ y longitud de arco $2s_1\approx4.13159$, y los otros tres de torsión $\tau_2=2$ y longitud de arco $2s_2\approx0.67712$. La imagen de abajo muestra los seis piezas, junto con la $xy$ plano que ilustra los tres ejes de simetría acerca de $z$. Siga más detalles.

the six pieces

A partir de $x_0=(0,0,0)$, podemos definir una hélice $\gamma_1$ con tangente $(0,\cos\theta_0,\sin\theta_0)$ normal $(-1,0,0)$, la curvatura $\kappa$, y de torsión $\tau_1=-0.3$ (elegido algo arbitrariamente). Después de longitud de arco $s_1$, damos por terminada $\gamma_1$, y seguirá otra hélice $\gamma_2$ a partir de ese punto, con la coincidencia de la tangente, normal, y la curvatura, pero con diferentes torsión $\tau_2=2$. Decir que este cumple con los $xy$ avión después de una longitud de arco $s_2$, punto en el cual damos por terminado. Este es uno de los "monómero" que vamos a repetir seis veces para construir la curva completa. En cada extremo, la curva puede ser ampliado mediante la rotación media vuelta sobre el vector normal en el punto final.

monomer

Supongamos que la posición de la tangente y la normal al final de la $\gamma_2$ $x_2$, $t_2$, y $n_2$ respectivamente, las cuales son las funciones de $\theta_0$, $s_1$, y $s_2$. Para el conjunto de la curva de a $C^2$ continuo y que se cerró después de seis repeticiones, sólo hemos de exigir que (i) $x_2$ se encuentra en el $xy$ plano, (ii) la proyección de $t_2$ $xy$ avión ha girado $2\pi/3$ radianes de su dirección original, y (iii) $n_2$ no tiene componente en $z$. Es decir, $$x_2\cdot(0,0,1)=0,\\t_2\cdot(\cos\tfrac{2\pi}3,\sin\tfrac{2\pi}3,0)=0,\\n_2\cdot(0,0,1)=0.$$ Estas son las tres ecuaciones en tres variables $\theta_0$, $s_1$, y $s_2$, y puede ser resuelto numéricamente. Para los valores elegidos de $\tau_1$$\tau_2$, tengo $\theta_0 \approx 0.605278$, $s_1 \approx 2.0658$, $s2 \approx 0.33856$. Escogí las torsiones bastante grande para que el nudo es fácil de ver; con valores más grandes, el método numérico no se pudo encontrar una solución.

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