Puede - por ejemplo - el nudo de trébol ser realizado por una curva de curvatura constante?
Aquí está una calculada numéricamente la solución afirmativa.
Es una $C^2$ curva con curvatura constante $\kappa=1$ y seccionalmente constante de torsión, hecha por pegando seis piezas de las hélices. Tres de las piezas han de torsión $\tau_1=-0.3$ y longitud de arco $2s_1\approx4.13159$, y los otros tres de torsión $\tau_2=2$ y longitud de arco $2s_2\approx0.67712$. La imagen de abajo muestra los seis piezas, junto con la $xy$ plano que ilustra los tres ejes de simetría acerca de $z$. Siga más detalles.
A partir de $x_0=(0,0,0)$, podemos definir una hélice $\gamma_1$ con tangente $(0,\cos\theta_0,\sin\theta_0)$ normal $(-1,0,0)$, la curvatura $\kappa$, y de torsión $\tau_1=-0.3$ (elegido algo arbitrariamente). Después de longitud de arco $s_1$, damos por terminada $\gamma_1$, y seguirá otra hélice $\gamma_2$ a partir de ese punto, con la coincidencia de la tangente, normal, y la curvatura, pero con diferentes torsión $\tau_2=2$. Decir que este cumple con los $xy$ avión después de una longitud de arco $s_2$, punto en el cual damos por terminado. Este es uno de los "monómero" que vamos a repetir seis veces para construir la curva completa. En cada extremo, la curva puede ser ampliado mediante la rotación media vuelta sobre el vector normal en el punto final.
Supongamos que la posición de la tangente y la normal al final de la $\gamma_2$ $x_2$, $t_2$, y $n_2$ respectivamente, las cuales son las funciones de $\theta_0$, $s_1$, y $s_2$. Para el conjunto de la curva de a $C^2$ continuo y que se cerró después de seis repeticiones, sólo hemos de exigir que (i) $x_2$ se encuentra en el $xy$ plano, (ii) la proyección de $t_2$ $xy$ avión ha girado $2\pi/3$ radianes de su dirección original, y (iii) $n_2$ no tiene componente en $z$. Es decir,
$$x_2\cdot(0,0,1)=0,\\t_2\cdot(\cos\tfrac{2\pi}3,\sin\tfrac{2\pi}3,0)=0,\\n_2\cdot(0,0,1)=0.$$
Estas son las tres ecuaciones en tres variables $\theta_0$, $s_1$, y $s_2$, y puede ser resuelto numéricamente. Para los valores elegidos de $\tau_1$$\tau_2$, tengo $\theta_0 \approx 0.605278$, $s_1 \approx 2.0658$, $s2 \approx 0.33856$. Escogí las torsiones bastante grande para que el nudo es fácil de ver; con valores más grandes, el método numérico no se pudo encontrar una solución.