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La característica de $R$ es el menos positivo entero $k$ tal que todas las $kr=0$ $r\in R$, o la característica $0$ si no existe tal un entero.
Para un entero $m>0$, el conjunto de $mR={mr:r\in R}$ es claramente un ideal de $R$. Ya que $R$ es simple, o $mR={0}$ o $mR=R$. Si $k>0$ es la característica de $R$, entonces, por definición, $kR={0}$ y $mR\ne{0}$, $0<m>Que $k=mn$ ser compuesta, con $m>1$ y $n>1$. Entonces $mR\ne{0}$ y $nR\ne{0}$, que $nR=R$; por lo tanto $kR=mnR=m(nR)=mR\ne{0}$, una contradicción.
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Para empezar, voy a asumir que $R$ tiene una unidad de elemento $1$ tal que $1r = r1 = r$ para todos los $r \in R$.
Siendo este el caso, deje $n \in \Bbb Z_+$, los enteros positivos, ser el más pequeño tal que
$1 + 1 + . . . + 1 \, (n \, \text{times}) = 0.\tag{1}$
Para evitar la trivialidad, asumimos $n > 1$; por otra parte tenemos a $1 = 0$ por lo tanto, para todos los $r \in R$, $r = r1 = 0$, y el anillo de $R$ se derrumba a $\{0\}$. Si $n$ es compuesto, dicen $n = ab$ donde $1 < a, b < n$, entonces considere el principal ideal de $aR = \{ ar, \, r \in R \}$, donde por $a$ nos referimos a $1 + 1 + . . . + 1 \, (a \, \text{times})$. Desde $ar = ra$ para todos los $r \in R$, este ideal es de dos caras. Además, $a = a1 \in aR$; tenemos $a \ne 0$ por la elección de $n$ como el menor número entero de que, cuando se suman, el rendimiento de $0$; desde $0 \ne a \in aR$, el ideal de $aR \ne 0$. También, $1 \notin R$, ya que de lo contrario tendríamos $1 = as$ para algunos $s \in R$; a continuación,$b =bas = ns = 0$; pero esta posibilidad también contradice la elección de $n$ como el más pequeño de tales. Así $aR$ sería un dos caras adecuada ideal de $R$, contradiciendo la simplicidad de $R$. Esto muestra que la característica de $R$, si no es cero, es primo.
En el caso de que $R$ no tiene una unidad de elemento, creo que todavía puede ser capaz de definir sus características como $n$ mediante la exigencia de que
$r + r + . . . + r \, (n \text{times}) = 0 \tag{2}$
para todos los $r \in R$. Si adoptamos la notación $mr = r + r + . . . + r \, (m \text{times})$ para todos los $m \in \Bbb Z_+, r \in R$, entonces todavía podemos considerar los conjuntos de la forma $mR$ que consta de todos los elementos de la forma $mr$. Es fácil ver que este conjunto es ideal, a dos caras, en $R$, ya que el $mr - ms = m(r - s)$ e $s(mr) = m(sr) \in R$ así como de $(mr)s = m(rs) \in mR$. (Os dejo el sencillo detalles de las verificaciones de estas afirmaciones para el lector.) Si, como en el anterior, $n = ab$ es compuesto, entonces el ideal $aR$ no es el cero ideal, ya que debe haber algo de $r \in R$ tal que $ar \ne 0$. Asimismo, $aR \ne R$, porque si este fuera el caso, entonces para cada $s \in R$ tendríamos $s = ar$ para algunos $r \in R$; a continuación, $bs = b(ar) = (ba)r = 0 \,$ por cada $s \in R$, contradiciendo la elección de $n$ como el menor entero positivo tener esta propiedad. Por lo $aR$ es de nuevo una adecuada, de dos caras ideal de $R$, contradiciendo su simplicidad como un anillo.
Supongo que la proposición puede ser hecho para volar, de cualquier manera, si $R$ es unital o no! QED!
Es importante recordar que, en la lectura de los párrafos anteriores, a distinguir entre el $mr$ donde $m \in \Bbb Z_+, r \in R$, e $rs$ con $r, s \in R$. La primera siempre se refiere a $m$ copias de $r$ agregado juntos; el último es el producto de $rs$ para $r, s \in R$. Esperemos que el contexto hace que estos dos usos claro cuando se producen.
Espero que esto ayude! ¡Hasta la vista,
y como siempre,
Fiat Lux!!!
