Ecuación diofantina exponencial $3^x5^y-2^s7^t=1$ .

Question

1. Cómo resolver $3^x5^y-2^s7^t=1$ ¿completamente?
2. ¿Existe alguna técnica general para tratar estas ecuaciones exponenciales?
3. Para ecuaciones como $a^x-b^y=1$ El teorema de Mihailescu (conjetura catalana) garantiza que la única solución es $3^2-2^3=1$ . Para ecuaciones como $\prod p_i^{n_i}-\prod q_j^{m_j}=1$ la conjetura abc afirma que sólo hay un número finito de soluciones tales $\prod p_i^{n_i}>(\prod p_i\prod q_j)^{1+\epsilon}$ por lo que sólo las soluciones con $n_i$ no muy grande sucede a menudo. Aunque la conjetura abc aún no está totalmente verificada, esta ecuación está lejos de cubrir toda la conjetura abc. Entonces, ¿hay alguna conclusión general sobre tales ecuaciones?

Answer 1

Las únicas soluciones de $3^x 5^y - 2^s 7^t = 1$ en enteros no negativos son:

x y s t 

1 0 1 0    3 -  2 = 1
0 1 2 0    5 -  4 = 1
2 0 3 0    9 -  8 = 1
1 1 1 1   15 - 14 = 1
2 2 5 1  225 - 224 = 1

Existe una amplia literatura sobre estas cuestiones diofánticas. Una frase clave es " $S$ -ecuaciones unitarias". En general se sabe desde hace tiempo que hay un número finito de soluciones, y de hecho para ecuaciones de la forma $$\prod_i p_i^{n_i} - \prod_j q_j^{m_j} = 1$$ esto ya se deduce de Teorema de Thue (1909); y ahora incluso tenemos algoritmos eficaces conocidos para encontrar todas las soluciones. Todavía no se conoce ninguna técnica elemental conocida en general, pero en su caso (donde sólo aparecen los primos 2,3,5,7) David Rusin informa que una solución elemental está contenida en un documento de 1976

L. J. Alex: Ecuaciones diofantinas relacionadas con grupos finitos, Comunicaciones en Álgebra 4 #1 (1976), 77-100 (MR54:12634).