Estoy teniendo problemas para mostrar que un determinado producto tensor no es de torsiones. Deje $ R = k[[x,y]] $ donde $ k $ es un campo (este es el anillo de poder formal de la serie en $ x $ e $ y $ con coeficientes en $ k $). Deje $ I $ ser el no-principal ideal $ (x,y) $; naturalmente, $ I $ es $ R $-módulo. Luego se forma el producto tensor $ I \otimes_{R} I $, que es también una $ R $-módulo. ¿Cómo hace uno para mostrar que $ I \otimes_{R} I $ no es un torsiones $ R $-módulo? En otras palabras, ¿cómo se podría ir sobre explícitamente encontrar un elemento no nulo $ x \in I \otimes_{R} I $ y un valor distinto de cero $ p \in R $ tal que $ p \cdot x = 0 $? Todas las sugerencias son bienvenidas. Gracias!
Respuesta
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Creo que $x \otimes y - y \otimes x$ debe hacer el truco. Observe que $$xy \cdot (x \otimes y - y \otimes x) = xy \otimes xy - xy \otimes xy$$and % la esperanza de que el elemento original es distinto de cero (moral no es ya que para arrastrar algo bajo el tensor, se necesita que el 1 es el ideal).
Formalmente, creo que tenemos un mapa bilineal $I \otimes_R I \rightarrow k[[x,y]]/(x,y)^3$envío $x \otimes y \mapsto x^2, x \otimes x \mapsto xy, y \otimes x \mapsto y^2, y \otimes y \mapsto xy$.
