¿Cómo se muestra que este producto del tensor no es libre de torsión?

Question

Estoy teniendo problemas para mostrar que un determinado producto tensor no es de torsiones. Deje $R = k[[x,y]]$ donde $k$ es un campo (este es el anillo de poder formal de la serie en $x$ e $y$ con coeficientes en $k$). Deje $I$ ser el no-principal ideal $(x,y)$; naturalmente, $I$ es $R$-módulo. Luego se forma el producto tensor $I \otimes_{R} I$, que es también una $R$-módulo. ¿Cómo hace uno para mostrar que $I \otimes_{R} I$ no es un torsiones $R$-módulo? En otras palabras, ¿cómo se podría ir sobre explícitamente encontrar un elemento no nulo $x \in I \otimes_{R} I$ y un valor distinto de cero $p \in R$ tal que $p \cdot x = 0$? Todas las sugerencias son bienvenidas. Gracias!

Answer 1

Creo que $x \otimes y - y \otimes x$ debe hacer el truco. Observe que $$xy \cdot (x \otimes y - y \otimes x) = xy \otimes xy - xy \otimes xy$$ and % la esperanza de que el elemento original es distinto de cero (moral no es ya que para arrastrar algo bajo el tensor, se necesita que el 1 es el ideal).

Formalmente, creo que tenemos un mapa bilineal $I \otimes_R I \rightarrow k[[x,y]]/(x,y)^3$envío $x \otimes y \mapsto x^2, x \otimes x \mapsto xy, y \otimes x \mapsto y^2, y \otimes y \mapsto xy$.