Calcular $\lim_{x\, \to \,\infty} \bigg(\frac{\sqrt[x]{1} + \sqrt[x]{2}}{2}\bigg)^x$

Question

Sólo estoy tratando de resolver el límite:

$$\lim_{x\, \to \,\infty} \bigg(\frac{\sqrt[x]{1} + \sqrt[x]{2}}{2}\bigg)^x$$

(espero que esto no sea un duplicado, es bastante complicado encontrar eq's especiales a través del buscador aquí) Wolfram-alpha me dijo que es $\sqrt{2}$ . He pensado en utilizar L'Hospital, pero los denominadores se derivan a $f^{(n)} = (\ln2)^n \cdot 2^x \to \infty \; \forall n$ .

Así que no veo la utilidad de ello.

Se agradecen las sugerencias. (Ya he visto que $\sqrt[x]{1} = 1$ y probó el $e^{\ln f(x)}$ pero sin éxito)

Answer 1

Toma $x= e^{\log x} $ y escribir $\frac{1}{x}=h$ , por lo que tiene $\frac{\log (1+2^h)-\log 2 }{h}$ , entonces utiliza L'Hospital

Answer 2

Tenemos $$ y = \lim_{x\, \to \,\infty} \bigg(\frac{\sqrt[x]{1} + \sqrt[x]{2}}{2}\bigg)^x = \lim_{x\, \to \,\infty} \bigg(\frac{1 + 2^{1/x}}{2}\bigg)^x $$ Así que, $$ \ln y = \lim_{x\, \to \,\infty} x\ln\bigg(\frac{1 + 2^{1/x}}{2}\bigg) = \lim_{x\, \to \,\infty} \ln\bigg(\frac{1 + 2^{1/x}}{2}\bigg)/(1/x) $$ L'Hopital le ofrece $$ \ln y = \lim_{x\, \to \,\infty} \bigg(\frac{2}{1 + 2^{1/x}}\bigg) \cdot (-1/x^2)[\ln(2)/2]2^{1/x}/(-1/x^2) = \\ \lim_{x\, \to \,\infty} \bigg(\frac{2[\ln(2)/2]2^{1/x}}{1 + 2^{1/x}}\bigg) = \\ 2[\ln(2)/2] \lim_{x\, \to \,\infty} \bigg(\frac{2^{1/x}}{1 + 2^{1/x}}\bigg) =\\ 2[\ln(2)/2] \frac 12 = \ln(2)/2 $$ Por lo tanto, tenemos $y = e^{\ln(2)/2} = \sqrt 2$ . Así que el límite es $\sqrt 2$ .

Answer 3

Toma el logaritmo natural del argumento del límite:

$$ \ln\Bigl(\frac{1+\sqrt[x]{2}}{2}\Bigr)^x = x[\ln(1+\sqrt[x]{2})-\ln 2] $$

Ahora, en el límite, $[1+(\ln 2)/x]^x$ va como $e^{\ln 2} = 2$ Así que $\sqrt[x]{2}$ va como $1+(\ln 2)/x$ . Por lo tanto, el registro de nuestro argumento ahora va como $x[\ln(2+(\ln 2)/x)-\ln 2]$ .

Observe que $d/du (\ln u) = 1/u = 1/2$ en $u = 2$ por lo que la expresión anterior es $x[\ln 2+(\ln 2)/(2x)-\ln 2] = (\ln 2)/2$ . Como es el logaritmo de nuestra expresión, el límite deseado es $e$ elevado a esa potencia, o $\sqrt{2}$ .

Answer 4

Creo que podemos hacerlo. Deja que $T(x)=a^x$ . Entonces $T'(x)=a^x \ln(a)$ y así $T(0)=1$ y $T'(0)=\ln(a)$ . $T'(0)=\ln(a)=\lim_{ u \rightarrow 0 } \frac{T(u)-T(0)}{u-0}=\lim_{ u \rightarrow 0 } \frac{a^u-1}{u} $ Dejemos que $u=\frac{1}{x}$ . Esto significa que tenemos: $\ln(a)=\lim_{ u \rightarrow \infty } (a^\frac{1}{x}-1)x$ Así que volvamos a jugar con nuestro problema: $\lim_{x \to \infty} (\frac{\sqrt[x]{1} + \sqrt[x]{2}}{2})^x=\lim_{x \to \infty}(\frac{(2^\frac{1}{x}-1)x}{2x}+1)^{2x \cdot \frac{1}{2}}=\lim_{x \to \infty} ((\frac{\ln(2)}{2x}+1)^{2x})^\frac{1}{2}=(e^{\ln(2)})^\frac{1}{2}$ Ahora bien, si podemos hacer esto, tal vez tengas que reforzar algo de lo que he dicho. Voy a añadir para algunos pequeños $\epsilon>0$ y grandes $x$ tenemos $\ln(a)=(a^\frac{1}{x}-1)x+\epsilon$ Y así $\ln(a) \approx (a^\frac{1}{x}-1)x$