(1/300)a+(−1/200)b=5(−1/300)a+((−1/300)+(1/200))b+(−1/200)c=−eb(−1/200)b+(1/200)c=−ec ¿cómo puedo resolver para a,b y c ? Gracias.
Sé que si obtengo una ecuación que aísla una variable, como kx+ex=0 Puedo usar el método de Newton para aproximar x. Pero todavía no puedo resolverlo.
(Sólo soy un estudiante de secundaria, así que si puedes haz que tus respuestas sean lo más fáciles de entender posible)
Su sistema
{1300a−1200b=5−1300a+(−1300+1200)b−1200c=−eb−1200b+1200c=−ec
equivale a
{2a−3b=3000−2a+b−3c=−600eb−b+c=−200ec
y a
{a=32(c+200ec)+1500−5c−400ec−3000+600 exp(c+200ec)=0b=c+200ec.
La segunda ecuación tiene dos soluciones ( cálculo en WolframAlpha ): c≈−600.000 y c≈−3.64058 .
El método de Newton aplicado a f(c)=−5c−400ec−3000+600 exp(c+200ec)
consiste en las siguientes iteraciones
ck+1=ck−f(ck)f′(ck),k=1,2,…
con
f′(c)=−5−400ec+600(1+200ec) exp(c+200ec)
Empezando por, por ejemplo c1=−500 obtenemos f(c1)=−5c1−400ec1−3000+600 exp(c1+200ec1)f(−500)=5×500−400e−500−3000+600 exp(−500+200e−500)≈−500.0
y f′(c1)=−5−400ec1+600(1+200ec1) exp(c1+200ec1)f′(−500)=−5−400e−500+600(1+200e−500) exp(−500+200e−500)≈−5.0.
Y así, c2=c1−f(c1)f′(c1)≈−500−−500.0−5.0≈−600.0,
que ya es una buena aproximación.
Para c1=−3.6 obtenemos sucesivamente c2≈−3.6−879.6425019.0≈−3.6352c3≈−3.6352−71.57819406.≈−3.6389c4≈−3.6389−1.417318902.≈−3.6390c5≈−3.6390−29.61518889.≈−3.6406c6≈−3.6406−−0.4359318676≈−3.6406.
Desde (3) para c≈−3.6406 obtenemos la solución (a,b,c)≈(1502.4,1.6067,−3.6406) y para c≈−600.0 la solución (a,b,c)≈(600.0,−600.0,−600.0) .
Parcela de f(c) para c=−700 a c=−3.62
Parcela de f(c) para c=−3.7 a c=−3.6
Añadido : Quizás tengas en mente el método general para resolver un sistema no lineal sistema no lineal, aplicado al caso que nos ocupa. Denotemos x1=a,x2=b,x3=c . El sistema
(f1(x1,x2,x3)f2(x1,x2,x3)f3(x1,x2,x3))=(000),
donde
(f1(x1,x2,x3)f2(x1,x2,x3)f3(x1,x2,x3))=(1300x1−1200x2−5−1300x1+(−1300+1200)x2−1200x3+ex2−1200x2+1200x3+ex3),
tiene la matriz jacobiana
J(x)=(∂f1(x1,x2,x3)∂x1∂f1(x1,x2,x3)∂x2∂f1(x1,x2,x3)∂x3∂f2(x1,x2,x3)∂x1∂f2(x1,x2,x3)∂x2∂f2(x1,x2,x3)∂x3∂f3(x1,x2,x3)∂x1∂f3(x1,x2,x3)∂x2∂f3(x1,x2,x3)∂x3)=(1300−12000−13001600+ex2−12000−12001200+ex3).
El método de Newton consiste en partir de una aproximación x(1) y encuentran sucesivamente
x(k+1)=x(k)+Δx(k),k=1,2,…
donde Δx(k) es una solución de
J(x(k))Δx(k)=−f(x(k)),
que se puede encontrar por eliminación gaussiana.
Notación : x(k) es el vector (x(k)1,x(k)2,x(k)3)T , x(k+1) es el vector , J(x(k)) es la matriz jacobiana evaluada en (x(k)1,x(k)2,x(k)3) y f(x(k)) es la columna del vector (8) de f evaluado en (x(k)1,x(k)2,x(k)3) .
La primera ecuación se utiliza para sustituir todos los a→32b+1500 . Las dos ecuaciones restantes pueden recogerse en un 2x1 vector f=0
f=(ˆeb−b300−c200−5ˆec−b200+c200)
Las derivadas con respecto a b y c para cada parte son
f′=(ˆeb−1300−1200−1200ˆec+1200)
Newton raphson con vectores es (b,c)→(b,c)−f′−1f
(bc)→(bc)−(ˆeb−1300−1200−1200ˆec+1200)−1(ˆeb−b300−c200−5ˆec−b200+c200)
con una estimación inicial de (b=1c=1) Obtengo las siguientes iteraciones
[111.8416610.0033813271.634514−0.98357241.608907−1.9361741.607725−2.7839551.607126−3.380392]
Así que al final tenemos a=321.607126+1500 , b=1.607126 , c=−3.380392 .
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