(Perdón por el título ambiguo, no se me ocurrió uno mejor)
Mientras hojeaba un libro de texto de la escuela secundaria, encontré lo que parecía una pregunta interesante en trigonometría. Mis habilidades en trigonometría están al límite, pero no esperaba que fuera un gran desafío. Bueno, me equivoqué:
Los lados de un paralelogramo son $a$ y $b$ y su ángulo agudo es $ \alpha $ . Los diagnósticos son $n$ y $m$ y el ángulo agudo entre ellos es $ \beta $ .
A. Demuestra: $ \frac {mn}{2ab} = \frac { \sin\alpha }{ \sin\beta }$
B. Dejar: $ \alpha = \beta $ , $a < b$ , $m < n$
Demuéstralo: $6a^2 + 2b^2 = 3m^2+n^2$
Y en el dibujo (en bruto):
Siguiendo la ley de los cosenos (y que $ \cos (180- \theta ) = - \cos ( \theta )$ ):
$n^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos\alpha $ (en $ \Delta ABC$ )
$m^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos (180- \alpha ) = a^2 + b^2 + 2ab \cos ( \alpha )$ (en $ \Delta DAC$ )
$a^2 = ( \frac {m}{2})^2 + ( \frac {n}{2})^2 -2 \frac {m}{2} \frac {n}{2} \cos ( \beta )$ (en $ \Delta AEB$ )
$b^2 = ( \frac {m}{2})^2 + ( \frac {n}{2})^2 -2 \frac {m}{2} \frac {n}{2} \cos (180 - \beta )$ (en $ \Delta BEC$ )
Expandiendo las dos últimas ecuaciones:
$$a^2 = \frac {m^2}{4} + \frac {n^2}{4} - \frac {mn \cos ( \beta )}{2}$$
$$b^2 = \frac {m^2}{4} + \frac {n^2}{4} + \frac {mn \cos ( \beta )}{2}$$
$$ \Rightarrow $$
$$a^2 + b^2 = \frac {m^2}{2} + \frac {n^2}{2}$$
Y ahí es donde me golpeé con una pared. Tengo seis variables, y no puedo encontrar una forma de expresarlas de forma que se parezca al resultado final. Un gran contratiempo es que no pude encontrar una manera de expresar tanto el alfa como el beta en el mismo triángulo - si pudiera, entonces la ley de los pecados probablemente sería un salvador.
Si es posible, me gustaría que en vez de resolverlo, me mostraras una pauta dónde me equivoqué, o qué me estoy perdiendo. Gracias de antemano.
