Comentario sobre la naturaleza de las raíces

Question

¿Cuántas raíces tiene el siguiente polinomio? ¿Cuántas son reales y cuántas complejas?

$$\left(x-3\right)^9+\left(x-3^2\right)^9+\left(x-3^3\right)^9+\left(x-3^4\right)^9+...+\left(x-3^9\right)^9=0$$

Answer 1

Dejemos que $k$ sea un número natural y considere $a_1,a_2,\dots,a_n\in\mathbb{R}$ distintos por pares. La función $$ f(x)=(x-a_1)^{2k+1}+(x-a_2)^{2k+1}+\dots+(x-a_n)^{2k+1} $$ sólo tiene una raíz real, es decir, $c\in\mathbb{R}$ tal que $f(c)=0$ .

De hecho, su derivado es $$ f'(x)=(2k+1)\bigl((x-a_1)^{2k}+(x-a_2)^{2k}+\dots+(x-a_n)^{2k}\bigr) $$ que es positivo. El teorema del valor intermedio terminará el trabajo.

Answer 2

Esto es una especie de comentario, pero aquí porque no puedo poner fotos en los comentarios. . Los ceros de la función $(x-3)^9+(x-3^2)^9+(x-3^3)^9+(x-3^4)^9+(x-3^5)^9+(x-3^6)^9+(x-3^7)^9+(x-3^8)^9+(x-3^9)^9=0$

Answer 3

Empecé probando una versión más sencilla del mismo problema para ver si la respuesta muestra un patrón que pueda utilizarse para resolver esta versión más difícil:

$$(x-3)^3 + (x-3^2)^3 + (x-3^3)^3 = 0$$

A continuación, ampliando los paréntesis. Para ser honesto, el 3 empezó a confundir las cosas mientras buscaba un patrón, así que lo he sustituido por una y (lo volveré a sustituir más tarde)

$$\begin{align}(x-y)^3 &= (x-y)(x-y)(x-y)\\ &= x(x-y)(x-y) - y(x-y)(x-y)\\ &= x^2(x-y) - xy(x-y) - yx(x-y) + y^2(x-y)\\ &= x^3 - x^2y - x^2y + xy^2 - x^2y + xy^2 + xy^2 - y^3\\ &= x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3\end{align}$$

$$\begin{align}(x-y^2)^3 &= (x-y^2)(x-y^2)(x-y^2)\\ &= x(x-y^2)(x-y^2) - y^2(x-y^2)(x-y^2)\\ &= x^2(x-y^2) - xy^2(x-y^2) - xy^2(x-y^2) + y^4(x-y^2)\\ &= x^3 - x^2y^2 - x^2y^2 + xy^4 - x^2y^2 + xy^4 + xy^4 - y^6\\ &= x^3 - 3x^2y^2 + 3xy^4 - y^6\end{align}$$

$$\begin{align}(x-3^2)^3 &= (x-y^3)(x-y^3)(x-y^3)\\ &= x(x-y^3)(x-y^3) - y^3(x-y^3)(x-y^3)\\ &= x^2(x-y^3) - xy^3(x-y^3) - xy^3(x-y^3) + y^6(x-y^3)\\ &= x^3 - x^2y^3 - x^2y^3 + xy^6 - x^2y^3 + xy^6 + xy^6 - y^9\\ &= x^3 - 3x^2y^3 + 3xy^6 - y^9\end{align}$$

Y yo consigo...

$$x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3 +x^3 - 3x^2y^2 + 3xy^4 - y^6 +x^3 - 3x^2y^3 + 3xy^6 - y^9 = 0$$

Viendo patrones pero no tengo tiempo para esta mañana, ya postearé más tarde si llego.

Answer 4

Podrías escribirlo así, ¿no?
$\sum_{n=1}^{n=9}(x-3^n)^9$

Yo intentaría simplificar tu ecuación, empezando por los valores que ya conoces (el 3^n).
Usted obtendría $(x-3)^9 + (x-9)^9 + (x-27)^9 +...+(x-19683)^9 = 0$

No te da la respuesta, pero tal vez un paso más cerca.